Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região R e o de método a ser empregado no cálculo. A região R é delimitada pelas funções x=y- y^2 e x=y^2-3. A rotação acontece em torno da reta x=-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região em torno da reta . As curvas que delimitam essa região são e . Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou das arandelas, que é uma técnica da matéria de Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como é a região y - y^2 = y^2 - 3 . Para isso, vamos resolver as equações das duas curvas para encontrar os pontos de interseção.
Igualando as duas expressões de y - y^2 - y^2 + 3 = 0 -2y^2 + y + 3 = 0 :
2y^2 - y - 3 = 0
Resolvendo essa equação:
y = 1 pm raiz1 + 244 = 1 pm 54
Multiplicando ambos os lados por :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Com os pontos de interseção, agora vamos entender qual curva está à direita da outra no intervalo x = 0 - 0 = 0 x = 0 - 3 = -3 a . Testando um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Para :
Isso mostra que está à direita de . Isso é importante para determinar os raios no método das arandelas.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método das arandelas. Como a rotação é em torno de uma reta vertical ( R(y) = (y - y^2) - (-4) = y - y^2 + 4 r(y) = (y^2 - 3) - (-4) = y^2 - 3 + 4 = y^2 + 1 ), é mais fácil integrar em relação a V = pi integral-1^1.5 [R(y)^2 - r(y)^2] , dy = pi integral-1^1.5 [(y - y^2 + 4)^2 - (y^2 + 1)^2] , dy .
Os raios externo e interno serão a distância de cada curva até a reta :
O volume é dado por:

Resposta

Após resolver a integral, o volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

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