Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região
e o de método a ser empregado no cálculo. A região R é delimitada pelas funções
e
. A rotação acontece em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos discos ou das arandelas, que é uma técnica da matéria de Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como é a região
. Para isso, vamos resolver as equações das duas curvas para encontrar os pontos de interseção.
Igualando as duas expressões de
:
Resolvendo essa equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção, agora vamos entender qual curva está à direita da outra no intervalo
a
. Testando um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Isso mostra que
está à direita de
. Isso é importante para determinar os raios no método das arandelas.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método das arandelas. Como a rotação é em torno de uma reta vertical (
), é mais fácil integrar em relação a
.
Os raios externo e interno serão a distância de cada curva até a reta
:
O volume
é dado por:
Resposta
Após resolver a integral, o volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.