Calcule a integral indefinida.
(a) integral x sin (x^2) d x
(b) integral(3 x-2)^20 d x
(c) integral(x+1) raiz2 x+x^2 d x
(d) integral d x5-3 x
(e) integral sin pi t d t
(f) integral e^u(1-e^u)^2 d u
(g) integral a+b x^2raiz3 a x+b x^3 d x
(h) integral (ln x)^2x d x
(i) integral sec ^2 theta tan ^3 theta d theta
(j) integral e^x raiz1+e^x d x
(k) integral(x^2+1)(x^3+3 x)^4 d x
(l) integral 5^t sin 5^t d t
(m) integral e^tan x sec ^2 x d x
(n) integral cos xsin ^2 x d x
(o) integral raizcot x csc ^2 x d x
§ integral sinh ^2 x cosh x d x
(q) integral sin 2 x1+cos ^2 x d x
® integral cot x d x
(s) integral d xraiz1-x^2 arcsin x
(t) integral 1+x1+x^2 d x
(u) integral x(2 x+5)^8 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais indefinidas. As técnicas principais são substituição u (quando reconhecemos dentro da integral uma função cuja derivada também aparece) e as fórmulas básicas
integral u^n,du=u^n+1n+1+C, integral e^u,du=e^u+C, integralduu=ln|u|+C,
além de reconhecer derivadas de funções compostas e produtos. A cada subitem vamos identificar a substituição adequada e integrar.

Passo 2

(a) Para integral xsin(x^2),dx, faça u=x^2, então du=2x,dx e
integral xsin(x^2),dx =12integralsin(u),du =-12cos(u)+C =-12cos(x^2)+C

Passo 3

(b) Em integral(3x-2)^20,dx, faça u=3x-2, então du=3,dx e
integral(3x-2)^20,dx =13integral u^20,du =13cdotu^2121+C =(3x-2)^2163+C

Passo 4

(c) Para integral(x+1)raiz2x+x^2,dx, note que 2x+x^2=x^2+2x. Faça u=2x+x^2, então du=(2+2x),dx=2(x+1),dx e
integral(x+1)raiz2x+x^2,dx =12integral u^1/2,du =12cdot23u^3/2+C =13(2x+x^2)^3/2+C

Passo 5

(d) Em integraldx5-3x, faça u=5-3x, logo du=-3,dx e
integraldx5-3x =-13integralduu =-13ln|u|+C =-13ln|5-3x|+C

Passo 6

(e) Para integralsin(pi t),dt, use a antiderivada direta:
integralsin(pi t),dt =-1picos(pi t)+C

Passo 7

(f) Em integrale^u(1-e^u)^2,du, note que se v=1-e^u então dv=-e^u,du. Assim
integrale^u(1-e^u)^2,du =-integral v^-2,dv =-l(-v^-1r)+C =1v+C =11-e^u+C

Passo 8

(g) Para integrala+bx^2raiz3ax+bx^3,dx, faça u=3ax+bx^3, então du=(3a+3bx^2),dx=3(a+bx^2),dx, isto é, a+bx^2=tfrac13du/dx. Logo
integrala+bx^2raizu,dx =13integral u^-1/2,du =13cdot2u^1/2+C =23raiz3ax+bx^3+C

Passo 9

(h) Em integral(ln x)^2x,dx, faça u=ln x, logo du=dx/x. Assim
integral u^2,du =u^33+C =(ln x)^33+C

Passo 10

(i) Para integralsec^2theta,tan^3theta,dtheta, faça u=tantheta, então du=sec^2theta,dtheta. Assim
integral u^3,du =u^44+C =tan^4theta4+C

Passo 11

(j) Em integral e^xraiz1+e^x,dx, faça u=1+e^x, então du=e^x,dx. Logo
integral u^1/2,du =23u^3/2+C =23(1+e^x)^3/2+C

Passo 12

(k) Para integral(x^2+1)(x^3+3x)^4,dx, note que d(x^3+3x)=3(x^2+1),dx. Então
integral(x^2+1)(x^3+3x)^4,dx =13integral (x^3+3x)^4,d(x^3+3x) =13cdot(x^3+3x)^55+C =(x^3+3x)^515+C

Passo 13

(l) Em integral5^tsin(5^t),dt, faça u=5^t, então du=5^tln5,dt, ou dt=duuln5. Assim
integral usin u;duuln5 =1ln5integralsin u,du =-1ln5cos u+C =-1ln5cos(5^t)+C

Passo 14

(m) Para integral e^tan xsec^2x,dx, faça u=tan x, então du=sec^2x,dx. Logo
integral e^u,du =e^u+C =e^tan x+C

Passo 15

(n) Em integralcos xsin^2 x,dx, note cos xsin^2 x=(sin x)^-2cos x. Faça u=sin x, du=cos x,dx:
integral u^-2,du =-u^-1+C =-1sin x+C =-csc x+C

Passo 16

(o) Para integralraizcot x,csc^2 x,dx, escreva raizcot x=(cot x)^1/2. Faça u=cot x, então du=-csc^2x,dx:
integral u^1/2(-du) =-integral u^1/2,du =-23u^3/2+C =-23cot^3/2x+C

Passo 17

§ Em integralsinh^2xcosh x,dx, faça u=sinh x, então du=cosh x,dx. Assim
integral u^2,du =u^33+C =sinh^3x3+C

Passo 18

(q) Para integralsin2x1+cos^2x,dx, use sin2x=2sin xcos x. Faça u=cos x, du=-sin x,dx:
integral2usin x1+u^2,dx =-2integralu1+u^2,du =-lnl(1+u^2r)+C =-lnl(1+cos^2xr)+C

Passo 19

® Em integralcot x,dx, use cot x=cos x/sin x. A antiderivada é
ln|sin x|+C

Passo 20

(s) Para integraldxraiz1-x^2,arcsin x, faça u=arcsin x, então du=dxraiz1-x^2. Logo
integralduu =ln|u|+C =lnl|arcsin xr|+C

Passo 21

(t) Em integral1+x1+x^2,dx, separe
integral1+x^2 -x^2 +x1+x^2,dx =integral1+x^21+x^2,dx+integralx1+x^2,dx =integral1,dx+12integral2x1+x^2,dx =x+12lnl(1+x^2r)+C

Passo 22

(u) Para integral x(2x+5)^8,dx, faça u=2x+5, então du=2,dx e x=tfracu-52. Assim
integral x,u^8,dx =integralu-52u^8du2 =14integral(u^9-5u^8),du =14l(u^1010-5u^99r)+C =(2x+5)^1040-5(2x+5)^936+C

Resposta

(a) -tfrac12cos(x^2)+C
(b) tfrac(3x-2)^2163+C
(c) tfrac13(2x+x^2)^3/2+C
(d) -tfrac13ln|5-3x|+C
(e) -tfrac1picos(pi t)+C
(f) 11-e^u+C
(g) tfrac23raiz3ax+bx^3+C
(h) tfrac(ln x)^33+C
(i) tfractan^4theta4+C
(j) tfrac23(1+e^x)^3/2+C
(k) tfrac(x^3+3x)^515+C
(l) -tfrac1ln5cos(5^t)+C
(m) e^tan x+C
(n) -csc x+C
(o) -tfrac23cot^3/2x+C
§ tfracsinh^3x3+C
(q) -ln(1+cos^2x)+C
® ln|sin x|+C
(s) ln|arcsin x|+C
(t) x+tfrac12ln(1+x^2)+C
(u) tfrac(2x+5)^1040-tfrac5(2x+5)^936+C

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