Exercício 15 (S.1.30)
Seja : o fluxo de é hiperbólico e tem índice de estabildade . Mostre que é aberto em . Lembre que denota o número de autovalores com parte real negativa.
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos no espaço das matrizes reais . Definimos
onde o índice de estabilidade é o número de autovalores de cuja parte real é negativa. Queremos provar que é um conjunto aberto em .
Passo 2
Lembremos que “fluxo hiperbólico” significa que nenhum autovalor de está sobre o eixo imaginário, ou seja, para todo autovalor vale . Além disso, as raízes do polinômio característico (os autovalores) dependem continuamente das entradas de . Isso implica que, se é hiperbólica, existe uma distância mínima entre seus autovalores e o eixo imaginário.
Passo 3
Se , então seus autovalores satisfazem
Escolhendo varepsilon = m/2, vale o seguinte fato de teoria de perturbação espectral: se |B-A|<varepsilon (com qualquer norma matricial submultiplicativa), então cada autovalor mu de B está a menos de varepsilon de algum lambdaj. Daí
Logo B também não tem autovalores com parte real zero, ou seja, B é hiperbólica.
Passo 4
Ainda pelo mesmo argumento, as partes reais dos autovalores de B permanecem com o mesmo sinal de antes (pois não atravessam o zero). Assim B tem exatamente i autovalores com parte real negativa e cai em Ci. Concluímos que toda bola aberta de raio varepsilon centrada em A fica contida em Ci.