Exercício 15 (S.1.30)
Seja Ci=A in Mn(R) : o fluxo de x^prime=A x é hiperbólico e tem índice de estabildade i. Mostre que Ci é aberto em Mn(R). Lembre que i denota o número de autovalores com parte real negativa.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos no espaço Mn(R) das matrizes reais ntimes n. Definimos
Ci = lAin Mn(R) : x'=Ax tem fluxo hiperbólico e índice de estabilidade ir, óí
onde o índice de estabilidade i é o número de autovalores de A cuja parte real é negativa. Queremos provar que Ci é um conjunto aberto em Mn(R).

Passo 2

Lembremos que “fluxo hiperbólico” significa que nenhum autovalor de A está sobre o eixo imaginário, ou seja, para todo autovalor lambda vale Re(lambda)neq0. Além disso, as raízes do polinômio característico (os autovalores) dependem continuamente das entradas de A. Isso implica que, se A é hiperbólica, existe uma distância mínima entre seus autovalores e o eixo imaginário.

Passo 3

Se Ain Ci, então seus autovalores lambda1,dots,lambdan satisfazem
m ;:=;min1<= j<= nl|Re(lambdaj)r| ;>;0
Escolhendo varepsilon = m/2, vale o seguinte fato de teoria de perturbação espectral: se |B-A|<varepsilon (com qualquer norma matricial submultiplicativa), então cada autovalor mu de B está a menos de varepsilon de algum lambdaj. Daí
l|Re(mu)-Re(lambdaj)r| ;<;varepsilon Longrightarrow l|Re(mu)r|;>=;l|Re(lambdaj)r|-varepsilon ;>=;m-tfrac m2 ;=;tfrac m2>0
Logo B também não tem autovalores com parte real zero, ou seja, B é hiperbólica.

Passo 4

Ainda pelo mesmo argumento, as partes reais dos autovalores de B permanecem com o mesmo sinal de antes (pois não atravessam o zero). Assim B tem exatamente i autovalores com parte real negativa e cai em Ci. Concluímos que toda bola aberta de raio varepsilon centrada em A fica contida em Ci.

Resposta

Ci é aberto em Mn(R).

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