Exercício 14 (S.2.28)

Seja S=A in Mn(R) : o fluxo de x^prime=A x é hiperbólico . Mostre que S é aberto e denso em Mn(R), isto é, mostre:
  1. Dado A in S, existe epsilon>0 tal que se |B-A|<epsilon, então B in S.
  2. Dado A in Mn(R) e epsilon>0, existe B in S tal que |B-A|<epsilon.
    (Dica: Use que se p(z)=sumj=0^n aj z^j é um polinômio e z1, ldots, zn são as raízes de p, então dado epsilon>0, existe de<a>0 tal que se |tildeaj-aj|<de<a, então as raízes do polinômio tildep(z)=sumj=0^n tildeaj z^j distam menos do que epsilon das raízes de p. Isto é um consequência do Teorema de Rouché de análise complexa).

Passo 1

Resumo do enunciado e ideias principais
Temos
S = Ain Mn(R) : o fluxo de x'=Ax é hiperbólico, éó
isto é, Ain S exatamente quando nenhum autovalor de A tem parte real zero. Vamos usar duas propriedades fundamentais:
  1. Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico pA(z)=det(zI - A)
  2. As raízes de um polinômio dependem continuamente de seus coeficientes (consequência do Teorema de Rouché).
Com isso, mostramos que S é aberto (pequenas perturbações em A mantêm as partes reais dos autovalores longe de zero) e denso (dado qualquer A, podemos aproximá-lo por A+de<a I que desloca todos os autovalores fora do eixo imaginário).

Passo 2

Provar que S é aberto
Suponha Ain S. Então todos os autovalores lambda1,dots,lambdan de A satisfazem Re(lambdaj)neq0. Defina
alpha ;=;min1<= j<= nl|Re(lambdaj)r|;>;0
Pela continuidade das raízes do polinômio característico, existe epsilon>0 tal que, se |B-A|<epsilon, então cada autovalor muj de B satisfaz
|muj-lambdaj|<alpha2
Logo
l|Re(muj)r|;>=;l|Re(lambdaj)r| - l|Re(muj-lambdaj)r| ;>;alpha - alpha2 ;=;alpha2;>;0
Isso mostra que B também não tem autovalores com parte real zero, ou seja, Bin S. Assim S é aberto.

Passo 3

Provar que S é denso
Seja Ain Mn(R) e seja varepsilon>0. Queremos Bin S com |B-A|<varepsilon. Considere
B ;=; A + de<a I,
onde de<ainR será escolhido pequeno. Os autovalores de B são lambdaj(A)+de<a. Como há apenas finitamente muitos lambdaj(A), podemos escolher 0<|de<a|<varepsilon de modo que Re(lambdaj(A))+de<aneq0 para todo j. Então todos os autovalores de B têm parte real não nula, ou seja, Bin S, e além disso
|B-A| ;=;|de<a I|;=;|de<a|;<;varepsilon
Isso prova que em toda vizinhança de A existe Bin S, logo S é denso.

Resposta

Mostramos que
  1. para todo Ain S existe epsilon>0 tal que |B-A|<epsilonRightarrow Bin S, e
  2. dado Ain Mn(R) e varepsilon>0 existe Bin S com |B-A|<varepsilon.
    Portanto S é aberto e denso em Mn(R).

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