Seja : o fluxo de é hiperbólico . Mostre que é aberto e denso em , isto é, mostre:
Dado , existe tal que se , então .
Dado e , existe tal que .
(Dica: Use que se é um polinômio e são as raízes de , então dado , existe tal que se , então as raízes do polinômio distam menos do que das raízes de . Isto é um consequência do Teorema de Rouché de análise complexa).
Passo 1
Resumo do enunciado e ideias principais
Temos
isto é, exatamente quando nenhum autovalor de tem parte real zero. Vamos usar duas propriedades fundamentais:
Os autovalores de são as raízes do polinômio característico
As raízes de um polinômio dependem continuamente de seus coeficientes (consequência do Teorema de Rouché).
Com isso, mostramos que é aberto (pequenas perturbações em mantêm as partes reais dos autovalores longe de zero) e denso (dado qualquer , podemos aproximá-lo por que desloca todos os autovalores fora do eixo imaginário).
Passo 2
Provar que é aberto
Suponha . Então todos os autovalores de satisfazem . Defina
Pela continuidade das raízes do polinômio característico, existe epsilon>0 tal que, se |B-A|<epsilon, então cada autovalor muj de B satisfaz
Isso mostra que B também não tem autovalores com parte real zero, ou seja, Bin S. Assim S é aberto.
Passo 3
Provar que S é denso
Seja Ain Mn(R) e seja varepsilon>0. Queremos Bin S com |B-A|<varepsilon. Considere
B ;=; A + de<a I,
onde de<ainR será escolhido pequeno. Os autovalores de B são lambdaj(A)+de<a. Como há apenas finitamente muitos lambdaj(A), podemos escolher 0<|de<a|<varepsilon de modo que Re(lambdaj(A))+de<aneq0 para todo j. Então todos os autovalores de B têm parte real não nula, ou seja, Bin S, e além disso
|B-A| ;=;|de<a I|;=;|de<a|;<;varepsilon
Isso prova que em toda vizinhança de A existe Bin S, logo S é denso.
Resposta
Mostramos que
para todo Ain S existe epsilon>0 tal que |B-A|<epsilonRightarrow Bin S, e
dado Ain Mn(R) e varepsilon>0 existe Bin S com |B-A|<varepsilon.
Portanto S é aberto e denso em Mn(R).