Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes aplicada duas vezes para integrais do tipo
.
Passo 2
Vamos chamar
e aplicar integração por partes. Escolhemos:
u = sen(3θ) ⇒ du = 3 cos(3θ) dθ
dv = e^{2θ} dθ ⇒ v = \tfrac12 e^{2θ}
Então:
Definimos
, de modo que:
Passo 3
Agora calculamos
por partes: usamos
u = cos(3θ) ⇒ du = -3 sin(3θ) dθ
dv = e^{2θ} dθ ⇒ v = \tfrac12 e^{2θ}
Logo:
Passo 4
Substituímos
na expressão de
:
Reagrupando
e isolando:
Logo:
Resposta
[\tfrac{e^{2\theta}}{13}\bigl(2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta)\bigr) + C]