Calcule a integral indefinida.
integral e^2 theta sen(3 theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral e^2thetasin(3theta),dtheta. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes aplicada duas vezes para integrais do tipo integral e^athetasin(btheta),dtheta.

Passo 2

Vamos chamar I = integral e^2thetasin(3theta),dtheta e aplicar integração por partes. Escolhemos:
u = sen(3θ) ⇒ du = 3 cos(3θ) dθ
dv = e^{2θ} dθ ⇒ v = \tfrac12 e^{2θ}
Então:
I = u v - integral v,du = tfrac12 e^2θsin(3θ) - tfrac32 integral e^2θcos(3θ),dθ
Definimos J = integral e^2θcos(3θ),dθ, de modo que:
I = tfrac12 e^2θsin(3θ) - tfrac32 J

Passo 3

Agora calculamos J por partes: usamos
u = cos(3θ) ⇒ du = -3 sin(3θ) dθ
dv = e^{2θ} dθ ⇒ v = \tfrac12 e^{2θ}
Logo:
J = u v - integral v,du = tfrac12 e^2θcos(3θ) + tfrac32 integral e^2θsin(3θ),dθ = tfrac12 e^2θcos(3θ) + tfrac32 I

Passo 4

Substituímos J na expressão de I:
I = tfrac12 e^2θsin(3θ) - tfrac32l(tfrac12 e^2θcos(3θ) + tfrac32 Ir) = tfrac12 e^2θsin(3θ) - tfrac34 e^2θcos(3θ) - tfrac94I
Reagrupando I + tfrac94I = tfrac134I e isolando:
tfrac134I = e^2θl(tfrac12sin(3θ) - tfrac34cos(3θ)r) = tfrac14e^2θl(2sin(3θ)-3cos(3θ)r)
Logo:
I = 113e^2θl(2sin(3θ)-3cos(3θ)r) + C

Resposta

[\tfrac{e^{2\theta}}{13}\bigl(2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta)\bigr) + C]

Exercícios relacionados