Calcule a integral indefinida:
integral 1(x+2) raizx^2+4 x+3 d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral 1(x+2)raizx^2+4x+3,dx. O conteúdo envolve integração de funções que combinam termos lineares no denominador e radicais quadráticos, e vamos precisar usar substituições para simplificar o integrando.

Passo 2

Primeiro, note que a expressão dentro da raiz pode ser escrita como produto de fatores lineares:
x^2+4x+3=(x+1)(x+3) Isso já sugere que uma boa mudança de variável seria deslocar x para eliminar o termo cruzado dentro da raiz.

Passo 3

Vamos usar a substituição u = x + 2. Então dx = du e
x^2+4x+3 = (u-2)^2 + 4(u-2) + 3 = u^2-1 A integral em x se transforma em
integral 1(x+2)raizx^2+4x+3,dx = integral 1uraizu^2-1,du

Passo 4

Agora fazemos outra substituição para tratar raizu^2-1. Defina v = raizu^2-1. Então
v^2 = u^2-1 implies 2v,dv = 2u,du implies u,du = v,dv O integrando fica
1u,v,du = 1u,vcdot v,dvu = dvu^2 Mas como u^2 = v^2+1, temos
integral dvu^2 = integral dvv^2+1

Passo 5

Essa é uma integral padrão de arco-tangente:
integral dvv^2+1 = arctan(v) + C Finalmente, voltamos aos termos originais: v = raizu^2-1 = raizx^2+4x+3. Assim
arctan(v) + C = arctanl(raizx^2+4x+3r) + C

Resposta

arctanl(raizx^2+4x+3r) + C

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