Encontre a primitiva:
integral cosec(raizx)raizx d x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva de integral csc(raizx)raizx,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, e vamos precisar lembrar da derivada de raizx e da integral de csc(u).

Passo 2

Fazemos a substituição u=raizx. Assim temos:
x = u^2,
dx = 2u,du
e também raizx=u.

Passo 3

Vamos reescrever o integrando usando a substituição. Em bloco:
csc(raizx)raizx,dx = csc(u)ucdot 2u,du
Note que os u no numerador e denominador se cancelam, sobrando:

Passo 4

Simplificando, ficamos com
2integral csc(u),du
Agora só falta usar a integral conhecida de csc(u).

Passo 5

Lembrando que
integral csc(u),du = lnl|tan(tfrac u2)r| + C,
concluímos que
2integral csc(u),du = 2lnl|tan(tfrac u2)r| + C
Voltando à variável original x, substituímos u = raizx.

Resposta

2,\ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{\sqrt{x}}2\bigr)\bigr| + C

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