O enunciado pede para encontrar a primitiva de . O conteúdo principal aqui é integração por substituição, e vamos precisar lembrar da derivada de e da integral de .
Passo 2
Fazemos a substituição . Assim temos:
e também .
Passo 3
Vamos reescrever o integrando usando a substituição. Em bloco:
Note que os no numerador e denominador se cancelam, sobrando:
Passo 4
Simplificando, ficamos com
Agora só falta usar a integral conhecida de .
Passo 5
Lembrando que
concluímos que
2integral csc(u),du = 2lnl|tan(tfrac u2)r| + C
Voltando à variável original x, substituímos u = raizx.
Resposta
2,\ln\bigl|\tan\bigl(\tfrac{\sqrt{x}}2\bigr)\bigr| + C