A curva
é girada em torno do eixo
para gerar uma superfície. Escreva uma fórmula que represente a área dessa superfície.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a curva
no intervalo de
a
. A tarefa é girar essa curva ao redor do eixo
e encontrar uma fórmula que represente a área dessa superfície gerada. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de área de superfície de revolução na geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma curva ao redor de um eixo. Quando giramos uma curva ao redor do eixo
, estamos criando uma superfície tridimensional. Para calcular a área dessa superfície, usamos uma fórmula específica que envolve integrais.
Passo 3
A fórmula para a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva
ao redor do eixo
é dada por:
Aqui,
e
são os limites de integração, que no nosso caso são
e
.
Passo 4
Vamos identificar os componentes da nossa função:
- Função
: - Derivada
: A derivada de é
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da área, temos:
Passo 6
Essa integral representa a área da superfície gerada pela rotação da curva
ao redor do eixo
no intervalo de
a
. A expressão dentro da raiz quadrada,
, vem da fórmula que leva em conta a inclinação da curva ao calcular a área.
Resposta
A fórmula que representa a área da superfície é: