A curva y=sen(x), 0 <= x <= pi2 é girada em torno do eixo x para gerar uma superfície. Escreva uma fórmula que represente a área dessa superfície.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a curva no intervalo de a . A tarefa é girar essa curva ao redor do eixo e encontrar uma fórmula que represente a área dessa superfície gerada. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de área de superfície de revolução na geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma curva ao redor de um eixo. Quando giramos uma curva ao redor do eixo , estamos criando uma superfície tridimensional. Para calcular a área dessa superfície, usamos uma fórmula específica que envolve integrais.

Passo 3

A fórmula para a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva A = 2pi integrala^b y raiz1 + (dydx)^2 , dx ao redor do eixo é dada por:
Aqui, e são os limites de integração, que no nosso caso são e .

Passo 4

Vamos identificar os componentes da nossa função:
  • Função :
  • Derivada : A derivada de é

Passo 5

Substituindo A = 2pi integral0^pi2 sin(x) raiz1 + cos^2(x) , dx e na fórmula da área, temos:

Passo 6

Essa integral representa a área da superfície gerada pela rotação da curva ao redor do eixo no intervalo de a . A expressão dentro da raiz quadrada, , vem da fórmula que leva em conta a inclinação da curva ao calcular a área.

Resposta

A fórmula que representa a área da superfície é:
A = 2pi integral0^pi2 sin(x) raiz1 + cos^2(x) , dx

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