Calcule a integral indefinida.
integral0^pi x cosh (x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de de 0 a . Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes e entender um pouco sobre as funções hiperbólicas.

Passo 2

Vamos aplicar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Neste caso, vamos escolher:
u = x e dv = cosh(x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = dx e v = integral cosh(x) , dx = sinh(x) :

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral x cosh(x) , dx = x sinh(x) - integral sinh(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral sinh(x) , dx = cosh(x) + C
Então, substituindo de volta:
integral x cosh(x) , dx = x sinh(x) - cosh(x) + C

Passo 6

Como a integral é definida de 0 a [ x sinh(x) - cosh(x) ]0^pi = ( pi sinh(pi) - cosh(pi) ) - ( 0 cdot sinh(0) - cosh(0) ) , vamos calcular os valores nos limites:
= pi sinh(pi) - cosh(pi) - (0 - 1)
Sabemos que = pi sinh(pi) - cosh(pi) + 1 e , então:

Resposta

integral0^pi x cosh(x) , dx = pi sinh(pi) - cosh(pi) + 1

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