Calcule f^prime(x), se f(x)=cos ^2 x+cos xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cos^2 x + cos xx^2+1. O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas, regra da cadeia e regra do quociente.

Passo 2

Para usar a regra do quociente, definimos duas funções: u(x)=cos^2 x + cos x e v(x)=x^2+1. A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Vamos achar u'(x). Para a parte cos^2 x, aplicamos regra da cadeia: se h(x)=g(x)^2 então h'(x)=2g(x),g'(x). Aqui g(x)=cos x e g'(x)=-sin x, logo
ddxcos^2 x=2cos xcdot(-sin x)=-2sin xcos x
A derivada de cos x é -sin x. Somando, temos
u'(x)=-2sin xcos x - sin x = -sin x,(2cos x+1)

Passo 4

Como v(x)=x^2+1, sua derivada é
v'(x)=2x

Passo 5

Aplicando a fórmula do quociente e substituindo u, u', v, v', obtemos
f'(x)=-sin x,(2cos x+1),(x^2+1) - (cos^2 x + cos x),2x(x^2+1)^2

Passo 6

Essa expressão já é a forma final da derivada. Se quiser, dá para fatorar cos^2 x+cos x=cos x(cos x+1) no segundo termo do numerador, mas não é obrigatório para a resposta.

Resposta

f'(x)=-sin x,(2cos x+1),(x^2+1) - 2x,(cos^2 x + cos x)(x^2+1)^2

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