Calcule a integral indefinida.
integral0^pi x sin (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida . O tema aqui é integração por partes, que é uma técnica útil quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais funções vamos escolher para e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, escolhemos:
  • v = integral sin(3x) , dx = -cos(3x)3 (porque ao derivar, simplifica)
Agora, vamos encontrar e :
  • (derivada de )
  • Para encontrar , integramos :

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que temos:
integral x sin(3x) , dx = x cdot (-cos(3x)3) - integral (-cos(3x)3) , dx
Simplificando:
= -x cos(3x)3 + 13 integral cos(3x) , dx
Agora, resolvemos a segunda integral:
integral cos(3x) , dx = sin(3x)3
Então, substituindo de volta:
-x cos(3x)3 + 13 cdot sin(3x)3 = -x cos(3x)3 + sin(3x)9 + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de a .

Passo 4

Aplicando os limites:
[-pi cos(3pi)3 + sin(3pi)9] - [-0 cos(0)3 + sin(0)9]
Sabemos que:
  • [-pi cdot (-1)3 + 09] - [0 + 0] = pi3
Substituindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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