Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
f(x)=ccx+1, & -1 <= x<0 x, & 0 <= x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de Fourier para a função $ f(x) $ que é definida por partes no intervalo f(x) e depois estendida periodicamente como uma função par ou ímpar. Além disso, também precisamos encontrar alguma série convergente para essa função. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como aplicá-la em funções periódicas estendidas como pares ou ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x) = x + 1, & -1 <= x < 0 x, & 0 <= x < 1
Isso significa que, no intervalo de -1 a 0, a função é x + 1, e de 0 a 1, é simplesmente x. Nossa tarefa é estender essa função para todo o eixo real de forma que seja uma função par ou ímpar e, então, encontrar sua série de Fourier.

Passo 3

Vamos começar entendendo o que significa estender uma função como par ou ímpar.
  • Função Par: $ f(-x) = f(x) $. A série de Fourier de uma função par é composta apenas por cossenos.
  • Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $. A série de Fourier de uma função ímpar é composta apenas por senos.
Dependendo de como estendermos $ f(x) $, teremos diferentes séries de Fourier. Vamos considerar primeiro a extensão par e depois a ímpar.

Passo 4

Extensão como Função Par

Para estender $ f(x) $ como uma função par, definimos $ f(-x) = f(x) $. Assim, a função se torna simétrica em relação ao eixo y.
A série de Fourier para uma função par em um intervalo f(x) é dada por:
f(-x) = f(x)
Onde:
[-L, L]
f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi xL)
No nosso caso, $ L = 1 $, então as fórmulas ficam:
a0 = 12L integral-L^L f(x) , dx
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx

Passo 5

Calculando $ a_0 $:
a0
Vamos calcular cada integral:
a0 = 12 [ integral-1^0 (x + 1) dx + integral0^1 x , dx ]
integral-1^0 (x + 1) dx = [ x^22 + x ]-1^0 = (0 + 0) - (12 - 1) = 12
Então,
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12

Passo 6

Agora, vamos calcular $ a_n $:
an
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) dx = integral-1^0 (x + 1) cos(npi x) dx + integral0^1 x cos(npi x) dx
Segunda integral:
integral-1^0 (x + 1) cos(npi x) dx
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Mas, para simplificar, vamos lembrar que, por ser uma função par, podemos usar a propriedade de que:
integral0^1 x cos(npi x) dx
Substituindo $ f(x) $:
an = 2 integral0^1 f(x) cos(npi x) dx
Vamos resolver essa integral por partes.

Passo 7

Usando a integração por partes para $ \int x \cos(n\pi x) dx $:
Seja $ u = x $ e $ dv = \cos(n\pi x) dx $.
Então, $ du = dx $ e $ v = \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cos(npi x) dx
Então,
u = x
A segunda integral:
dv = cos(npi x) dx
Portanto,
du = dx
Agora, vamos avaliar de v = sin(npi x)npi a integral u , dv = uv - integral v , du :
integral x cos(npi x) dx = x cdot sin(npi x)npi - integral sin(npi x)npi dx
Substituindo:
Para $ x = 1 $:
integral sin(npi x)npi dx = -cos(npi x)(npi)^2
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
integral x cos(npi x) dx = x sin(npi x)npi + cos(npi x)(npi)^2 + C
Para $ x = 0 $:
0
Então, a integral de 1 a [ x sin(npi x)npi + cos(npi x)(npi)^2 ]0^1 :
x = 1
Voltando ao $ a_n $:
1 cdot sin(npi)npi + cos(npi)(npi)^2
Simplificando:
sin(npi) = 0

Passo 8

Agora, juntando $ a_0 $ e $ a_n $, a série de Fourier para a função par estendida é:
a0

Passo 9

Extensão como Função Ímpar

Agora, vamos estender $ f(x) $ como uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. A série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo f(x) é dada por:
f(-x) = -f(x)
Onde:
[-L, L]
No nosso caso, $ L = 1 $, então:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL)
Como a função é ímpar, podemos usar a propriedade:
bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx
Substituindo $ f(x) = x $ em L = 1 :
bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) dx
Vamos resolver essa integral por partes.

Passo 10

Usando integração por partes para $ \int x \sin(n\pi x) dx $:
Seja $ u = x $ e $ dv = \sin(n\pi x) dx $.
Então, $ du = dx $ e $ v = -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin(npi x) dx
Então,
u = x
A segunda integral:
dv = sin(npi x) dx
Portanto,
du = dx
Agora, vamos avaliar de v = -cos(npi x)npi a integral u , dv = uv - integral v , du :
integral x sin(npi x) dx = -x cos(npi x)npi + integral cos(npi x)npi dx
Substituindo:
Para $ x = 1 $:
integral cos(npi x)npi dx = sin(npi x)(npi)^2
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
integral x sin(npi x) dx = -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2 + C
Para $ x = 0 $:
0
Então, a integral de 1 a [ -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2 ]0^1 :
x = 1
Voltando ao $ b_n $:
-1 cdot cos(npi)npi + sin(npi)(npi)^2

Passo 11

Agora, juntando todos os termos, a série de Fourier para a função ímpar estendida é:
f(x) = sumn=1^infty 2(-1)^n+1npi sin(npi x)

Passo 12

Parte (b): Encontrar alguma série convergente

Já que encontramos as séries de Fourier para as extensões par e ímpar da função $ f(x) $, podemos dizer que ambas são séries convergentes para $ f(x) $ no intervalo considerado. Portanto, a série que encontramos na parte (a) é uma das séries convergentes para a função estendida.

Resposta

A série de Fourier para a função estendida par é:
f(x) = 12 + sumn=1^infty 2[(-1)^n - 1](npi)^2 cos(npi x)
E para a extensão ímpar, a série de Fourier é:
f(x) = sumn=1^infty 2(-1)^n+1npi sin(npi x)
Ambas as séries são convergentes para a função $ f(x) $ no intervalo f(x) .

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