Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida (par ou ímpar), periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) encontre alguma série convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de Fourier para a função $ f(x) $ que é definida por partes no intervalo
e depois estendida periodicamente como uma função par ou ímpar. Além disso, também precisamos encontrar alguma série convergente para essa função. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como aplicá-la em funções periódicas estendidas como pares ou ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que, no intervalo de
a
, a função é
, e de
a
, é simplesmente
. Nossa tarefa é estender essa função para todo o eixo real de forma que seja uma função par ou ímpar e, então, encontrar sua série de Fourier.
Passo 3
Vamos começar entendendo o que significa estender uma função como par ou ímpar.
- Função Par: $ f(-x) = f(x) $. A série de Fourier de uma função par é composta apenas por cossenos.
- Função Ímpar: $ f(-x) = -f(x) $. A série de Fourier de uma função ímpar é composta apenas por senos.
Dependendo de como estendermos $ f(x) $, teremos diferentes séries de Fourier. Vamos considerar primeiro a extensão par e depois a ímpar.
Passo 4
Extensão como Função Par
Para estender $ f(x) $ como uma função par, definimos $ f(-x) = f(x) $. Assim, a função se torna simétrica em relação ao eixo y.
A série de Fourier para uma função par em um intervalo
é dada por:
Onde:
No nosso caso, $ L = 1 $, então as fórmulas ficam:
Passo 5
Calculando $ a_0 $:
Vamos calcular cada integral:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular $ a_n $:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Mas, para simplificar, vamos lembrar que, por ser uma função par, podemos usar a propriedade de que:
Substituindo $ f(x) $:
Vamos resolver essa integral por partes.
Passo 7
Usando a integração por partes para $ \int x \cos(n\pi x) dx $:
Seja $ u = x $ e $ dv = \cos(n\pi x) dx $.
Então, $ du = dx $ e $ v = \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
A segunda integral:
Portanto,
Agora, vamos avaliar de
a
:
Substituindo:
Para $ x = 1 $:
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Para $ x = 0 $:
Então, a integral de
a
:
Voltando ao $ a_n $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, juntando $ a_0 $ e $ a_n $, a série de Fourier para a função par estendida é:
Passo 9
Extensão como Função Ímpar
Agora, vamos estender $ f(x) $ como uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. A série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo
é dada por:
Onde:
No nosso caso, $ L = 1 $, então:
Como a função é ímpar, podemos usar a propriedade:
Substituindo $ f(x) = x $ em
:
Vamos resolver essa integral por partes.
Passo 10
Usando integração por partes para $ \int x \sin(n\pi x) dx $:
Seja $ u = x $ e $ dv = \sin(n\pi x) dx $.
Então, $ du = dx $ e $ v = -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} $.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
A segunda integral:
Portanto,
Agora, vamos avaliar de
a
:
Substituindo:
Para $ x = 1 $:
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ e $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Para $ x = 0 $:
Então, a integral de
a
:
Voltando ao $ b_n $:
Passo 11
Agora, juntando todos os termos, a série de Fourier para a função ímpar estendida é:
Passo 12
Parte (b): Encontrar alguma série convergente
Já que encontramos as séries de Fourier para as extensões par e ímpar da função $ f(x) $, podemos dizer que ambas são séries convergentes para $ f(x) $ no intervalo considerado. Portanto, a série que encontramos na parte (a) é uma das séries convergentes para a função estendida.
Resposta
A série de Fourier para a função estendida par é:
E para a extensão ímpar, a série de Fourier é:
Ambas as séries são convergentes para a função $ f(x) $ no intervalo
.