Calcule a integral indefinida.
\int\left(\frac{1}{3} \operatorname{sen}(2 x)+\frac{1}{2} \cos (3 x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\biggl(\frac{1}{3}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{2}\cos(3x)\biggr)\,dx.
Aqui vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas básicas
\int \operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u) e \int \cos(u)\,du=\sin(u), fazendo a substituição u=a x.

Passo 2

Separemos a integral em duas partes pela linearidade:
\int\biggl(\frac{1}{3}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{2}\cos(3x)\biggr)\,dx =\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(2x)\,dx+\frac{1}{2}\int \cos(3x)\,dx.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \int \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Fazendo u=2x, temos du=2\,dx, ou seja dx=\tfrac{1}{2}\,du.
Logo
\int \operatorname{sen}(2x)\,dx =\int \operatorname{sen}(u)\,\frac{1}{2}du =\frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) =-\frac{1}{2}\cos(2x).
Multiplicando por \tfrac{1}{3}
\frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(2x)\,dx =-\frac{1}{6}\cos(2x).

Passo 4

Agora \displaystyle \int \cos(3x)\,dx.
Com v=3x, dv=3\,dx, logo dx=\tfrac{1}{3}\,dv.
Temos
\int \cos(3x)\,dx =\int \cos(v)\,\frac{1}{3}dv =\frac{1}{3}\sin(v) =\frac{1}{3}\sin(3x).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} fica
\frac{1}{2}\int \cos(3x)\,dx =\frac{1}{6}\sin(3x).

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
-\frac{1}{6}\cos(2x)+\frac{1}{6}\sin(3x)+C.

Resposta

-\frac{1}{6}\cos(2x)+\frac{1}{6}\sin(3x)+C.

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