Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}^{3}(3 x) \cos ^{3}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x)\,dx.
O conteúdo aqui é “integração de potências ímpares de seno e cosseno”. A ideia geral é aproveitar que um dos fatores tem potência ímpar para isolar um \cos(3x)\,dx (ou um \operatorname{sen}(3x)\,dx) e usar substituição.

Passo 2

Repare que \cos^{3}(3x)=\cos^{2}(3x)\,\cos(3x). Então
\operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x) =\operatorname{sen}^{3}(3x)\,\bigl[\cos^{2}(3x)\bigr]\,\cos(3x).
Como \cos^{2}(3x)=1-\operatorname{sen}^{2}(3x), temos
\operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x) =\operatorname{sen}^{3}(3x)\,\bigl[1-\operatorname{sen}^{2}(3x)\bigr]\,\cos(3x).
Agora fazemos a substituição
u=\operatorname{sen}(3x) \quad\Longrightarrow\quad du=3\,\cos(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(3x)\,dx=\frac{du}{3}.
Assim a integral vira
\int \operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x)\,dx =\int u^{3}(1-u^{2})\;\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int\bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos o polinômio em u:
\frac{1}{3}\int\bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}\Bigr)+C =\frac{u^{4}}{12}-\frac{u^{6}}{18}+C.

Passo 4

Voltando a variável x com u=\operatorname{sen}(3x), obtemos
\int \operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x)\,dx =\frac{\operatorname{sen}^{4}(3x)}{12}-\frac{\operatorname{sen}^{6}(3x)}{18}+C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^{3}(3x)\,\cos^{3}(3x)\,dx =\frac{\operatorname{sen}^{4}(3x)}{12}-\frac{\operatorname{sen}^{6}(3x)}{18}+C. }

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