Calcule a integral indefinida.
\int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x+\frac{3}{x-2}\Bigr)\,dx.
Aqui vamos usar a linearidade da integral, o regra do poder para x e a fórmula de integração de 1/u.

Passo 2

Pela linearidade, separamos em duas integrais:
\int x\,dx \;+\; \int \frac{3}{x-2}\,dx.
A primeira é a integral de uma potência:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Na segunda, extraímos a constante 3 e reconhecemos a forma \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|. Aqui u=x-2, logo
\int \frac{3}{x-2}\,dx = 3\int \frac{1}{u}\,du = 3\ln\lvert x-2\rvert.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\frac{x^2}{2} \;+\; 3\ln\lvert x-2\rvert \;+\; C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{2} + 3\ln\lvert x-2\rvert + C

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