Calcule a integral indefinida.
\int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x+\frac{3}{x-2}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolve uso da linearidade da integral e a regra básica
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C
para n=1 e
\int\frac{1}{x-a}\,dx = \ln\bigl|x-a\bigr|+C.

Passo 2

Pelo princípio da linearidade, separamos em duas integrais:
\int\Bigl(x+\frac{3}{x-2}\Bigr)\,dx = \int x\,dx + 3\int\frac{1}{x-2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral do polinômio:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Agora a integral da parte racional, usando
\displaystyle\int\frac{1}{x-2}\,dx = \ln\bigl|x-2\bigr|:
3\int\frac{1}{x-2}\,dx = 3\,\ln\bigl|x-2\bigr|.

Passo 5

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C:
\int\Bigl(x+\frac{3}{x-2}\Bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} + 3\,\ln\bigl|x-2\bigr| + C.

Resposta

\frac{x^2}{2} + 3\ln\bigl|x-2\bigr| + C.

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