Calcule a integral indefinida:
∫cos4xdx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \cos 4x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos 4x. Não há mais condições (constante de integração será adicionada no final). A nossa meta é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\cos 4x.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma função trigonométrica composta com uma função linear, como \cos(4x), a técnica mais direta é usar substituição simples (método da cadeia inverso) ou reconhecer a fórmula pronta
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C.
Vou mostrar as duas formas de ver isso, começando pela substituição, porque ela explica por que aparece o fator 1/4.

Passo 3

Aplicando substituição (passo a passo): faça a troca
u = 4x.
Agora calcule a diferencial: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=4 \quad\Rightarrow\quad du = 4\,dx.
Isolando dx,
dx = \frac{du}{4}.

Passo 4

Transformando a integral com a substituição: substitua u e dx na integral original
\int \cos 4x \, dx = \int \cos u \cdot \frac{du}{4}.
Como \frac{1}{4} é constante, podemos fatorá-la para fora da integral:
\int \cos 4x \, dx = \frac{1}{4}\int \cos u \, du.

Passo 5

Integrando em u: sabemos que a primitiva de \cos u é \sin u, pois a derivada de \sin u é \cos u:
\frac{d}{du}\sin u = \cos u.
Portanto
\frac{1}{4}\int \cos u \, du = \frac{1}{4}\sin u + C.

Passo 6

Voltando à variável original x: substituímos u=4x de volta:
\frac{1}{4}\sin u + C = \frac{1}{4}\sin(4x) + C.
Esse é o resultado final. Para conferir rapidamente, podemos derivar: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\sin(4x)\right) = \frac{1}{4}\cdot \cos(4x)\cdot 4 = \cos(4x),
o que bate com a integranda.

Passo 7

Dica rápida para a prova (reforço): quando encontrar \int \cos(kx)\,dx ou \int \sin(kx)\,dx com k constante, lembre da regra rápida
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C,\qquad \int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Exemplo menor: \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x)+C. Isso te salva tempo na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin(4x)+C

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