Calcule a integral indefinida:
∫tg4xdx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tan^4 x \, dx.
Informações fornecidas que vamos usar:
\text{integrando: }\tan^4 x,\qquad \text{variável de integração: }x,\qquad \text{tipo: integral indefinida (há constante de integração).}áçãáçã

Passo 2

Vamos transformar a potência de \tan em algo que conecte com a derivada de \tan. Use a identidade trigonométrica fundamental dividida por \cos^2 x:
\sin^2 x+\cos^2 x=1 \Longrightarrow \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=1\Longrightarrow \tan^2 x + 1 = \operatorname{sec}^2 x.
Dessa identidade segue
\tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1.
Usando isso em \tan^4 x=(\tan^2 x)^2 obtemos
\tan^4 x = (\operatorname{sec}^2 x - 1)^2 = \operatorname{sec}^4 x - 2\operatorname{sec}^2 x + 1.

Passo 3

Pela linearidade da integral (podemos integrar termo a termo), escrevemos
\int \tan^4 x \, dx = \int (\operatorname{sec}^4 x - 2\operatorname{sec}^2 x + 1)\,dx = \int \operatorname{sec}^4 x \,dx - 2\int \operatorname{sec}^2 x \,dx + \int 1\,dx.
Aqui já lembramos duas coisas simples:
  1. \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x, logo
\int \operatorname{sec}^2 x \,dx = \tan x.
  1. \int 1\,dx = x.

Passo 4

Falta integrar \int \operatorname{sec}^4 x \,dx. Para isso escrevemos \operatorname{sec}^4 x como \operatorname{sec}^2 x\cdot \operatorname{sec}^2 x e usamos a substituição natural
u=\tan x \quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec}^2 x\,dx.
Então
\int \operatorname{sec}^4 x \,dx = \int \operatorname{sec}^2 x\cdot \operatorname{sec}^2 x\,dx = \int (1+\tan^2 x)\operatorname{sec}^2 x\,dx.
Agora aplicando u=\tan x (ou diretamente substituindo \operatorname{sec}^2 x\,dx=du e \tan x=u) obtemos
\int \operatorname{sec}^4 x \,dx = \int (1+u^2)\,du = u + \frac{u^3}{3} + C = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C.

Passo 5

Agora somamos os pedaços:
\int \tan^4 x \,dx = \bigg(\tan x + \frac{\tan^3 x}{3}\bigg) - 2(\tan x) + x + C.
Agrupando termos semelhantes:
\int \tan^4 x \,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C.

Passo 6

Vamos checar rapidamente derivando a antiderivada encontrada para ver se volta ao integrando. Seja
F(x)=\frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x.
Derivando:
F'(x)=\tan^2 x\cdot \operatorname{sec}^2 x - \operatorname{sec}^2 x + 1.
Usando \tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x-1 temos
F'(x)=(\operatorname{sec}^2 x-1)\operatorname{sec}^2 x - \operatorname{sec}^2 x + 1 = \operatorname{sec}^4 x -2\operatorname{sec}^2 x +1 = (\operatorname{sec}^2 x -1)^2 = \tan^4 x,
que é exatamente o integrando. Verificação feita!

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C

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