Calcule a integral indefinida:
∫1/θtg3(lnθ)dθ

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida. Dados e pedido:
  • Integração a calcular: \displaystyle \int \frac{1}{\theta}\,\tan^{3}\bigl(\ln\theta\bigr)\,d\theta.
  • Variável de integração: \theta.
  • Não há outras condições explícitas; implicitamente \ln\theta exige \theta>0.
    O que se pede: encontrar uma primitiva (a antiderivada) da função \theta\mapsto \dfrac{1}{\theta}\tan^{3}(\ln\theta).

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples que elimina o fator \dfrac{1}{\theta}. Defina a nova variável
u=\ln\theta.
Derivando \,u=\ln\theta em relação a \theta obtemos
du=\frac{1}{\theta}\,d\theta.
Isso significa que \dfrac{1}{\theta}\,d\theta = du. Substituindo na integral temos
\int \frac{1}{\theta}\,\tan^{3}\bigl(\ln\theta\bigr)\,d\theta = \int \tan^{3}(u)\,du.
Explicação curta da técnica: trocar a variável via u=\ln\theta é padrão quando aparece d\theta/\theta; assim transformamos em uma integral mais simples em u.

Passo 3

Precisamos integrar \tan^{3}u. Use a identidade trigonométrica
\tan^{2}u=\operatorname{sec}^{2}u-1.
Portanto
\tan^{3}u=\tan u\cdot\tan^{2}u=\tan u\bigl(\operatorname{sec}^{2}u-1\bigr).
Isso nos permite escrever a integral como soma/diferença de termos mais fáceis:
\int \tan^{3}u\,du = \int \tan u\,\operatorname{sec}^{2}u\,du - \int \tan u\,du.

Passo 4

Calcule cada termo separadamente.
  1. Para \displaystyle \int \tan u\,\operatorname{sec}^{2}u\,du faça a substituição w=\tan u. Então dw=\operatorname{sec}^{2}u\,du. Assim
\int \tan u\,\operatorname{sec}^{2}u\,du = \int w\,dw = \frac{w^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}u}{2} + C.
Aqui usei que a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^{2}u, o que torna a substituição direta e a integral trivial.
  1. Para \displaystyle \int \tan u\,du escreva \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e faça p=\cos u. Então dp=-\sin u\,du, daí
\int \tan u\,du = \int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = -\int \frac{dp}{p} = -\ln\lvert p\rvert + C = -\ln\lvert\cos u\rvert + C.
Esse é um resultado padrão: a primitiva de \tan u é -\ln\lvert\cos u\rvert.

Passo 5

Combine os dois resultados (subtraindo o segundo do primeiro, conforme a decomposição):
\int \tan^{3}u\,du = \frac{\tan^{2}u}{2} - \bigl(-\ln\lvert\cos u\rvert\bigr) + C = \frac{\tan^{2}u}{2} + \ln\lvert\cos u\rvert + C.
Lembre que C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Volte à variável original usando u=\ln\theta. Substituindo:
\int \frac{1}{\theta}\,\tan^{3}\bigl(\ln\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\,\tan^{2}\bigl(\ln\theta\bigr) + \ln\bigl\lvert\cos(\ln\theta)\bigr\rvert + C.
Pequena verificação por derivação (para nos dar segurança): derivando o resultado obtido usando regra da cadeia recuperamos
\frac{1}{\theta}\tan(\ln\theta)\operatorname{sec}^{2}(\ln\theta) - \frac{1}{\theta}\tan(\ln\theta) = \frac{1}{\theta}\tan(\ln\theta)\bigl(\operatorname{sec}^{2}(\ln\theta)-1\bigr) = \frac{1}{\theta}\tan^{3}(\ln\theta),
que é exatamente o integrando original. Tudo coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\tan^{2}\bigl(\ln\theta\bigr)+\ln\bigl\lvert\cos(\ln\theta)\bigr\rvert + C

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