Calcule a integral indefinida:
∫1/θtg3(lnθ)dθ
∫1/θtg3(lnθ)dθ
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida. Dados e pedido:
- Integração a calcular:
. - Variável de integração:
. - Não há outras condições explícitas; implicitamente
exige .
O que se pede: encontrar uma primitiva (a antiderivada) da função.
Passo 2
Vamos usar uma substituição simples que elimina o fator
. Defina a nova variável
Derivando
em relação a
obtemos
Isso significa que
. Substituindo na integral temos
Explicação curta da técnica: trocar a variável via
é padrão quando aparece
; assim transformamos em uma integral mais simples em
.
Passo 3
Precisamos integrar
. Use a identidade trigonométrica
Portanto
Isso nos permite escrever a integral como soma/diferença de termos mais fáceis:
Passo 4
Calcule cada termo separadamente.
- Para
faça a substituição . Então . Assim
Aqui usei que a derivada de
é
, o que torna a substituição direta e a integral trivial.
- Para
escreva e faça . Então , daí
Esse é um resultado padrão: a primitiva de
é
.
Passo 5
Combine os dois resultados (subtraindo o segundo do primeiro, conforme a decomposição):
Lembre que
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Volte à variável original usando
. Substituindo:
Pequena verificação por derivação (para nos dar segurança): derivando o resultado obtido usando regra da cadeia recuperamos
que é exatamente o integrando original. Tudo coerente.