Calcule a integral indefinida:
∫sen19(t−1)cos(t−1)dt
∫sen19(t−1)cos(t−1)dt
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e claras no enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é produto de
por . - Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) e devemos adicionar a constante de integração
no final.
Passo 2
Observação útil para simplificar: note que a derivada de
em relação a
é justamente
. Vou escrever isso explicitamente usando diferenciação:
Isso sugere a substituição
, porque então a parte
do integrando será exatamente
. Vou fazer essa substituição.
Passo 3
Faço a substituição
. Diferenciando,
Agora substituo na integral original: toda ocorrência de
vira
e
vira
. Assim a integral fica
Passo 4
Agora aplico a regra básica de potências para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 5
Faço a substituição inversa para voltar à variável
. Lembre que
, logo
Para garantir que está correto, posso checar derivando a resposta: usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Tudo confere.
Passo 6
Comentário prático rápido (útil na prova): sempre que você vir algo do tipo
é quase automático usar
. Nesse caso
, então o resultado será
. Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.