Calcule a integral indefinida:
∫sen19(t−1)cos(t−1)dt

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{19}(t-1)\cos(t-1)\,dt.
Informações dadas e claras no enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é produto de \operatorname{sen}^{19}(t-1) por \cos(t-1).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) e devemos adicionar a constante de integração C no final.

Passo 2

Observação útil para simplificar: note que a derivada de \operatorname{sen}(t-1) em relação a t é justamente \cos(t-1). Vou escrever isso explicitamente usando diferenciação:
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t-1)=\cos(t-1)\cdot\frac{d}{dt}(t-1)=\cos(t-1).
Isso sugere a substituição u=\operatorname{sen}(t-1), porque então a parte \cos(t-1)\,dt do integrando será exatamente du. Vou fazer essa substituição.

Passo 3

Faço a substituição u=\operatorname{sen}(t-1). Diferenciando,
du=\cos(t-1)\,dt.
Agora substituo na integral original: toda ocorrência de \operatorname{sen}(t-1) vira u e \cos(t-1)\,dt vira du. Assim a integral fica
\int \operatorname{sen}^{19}(t-1)\cos(t-1)\,dt = \int u^{19}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra básica de potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=19, então
\int u^{19}\,du = \frac{u^{20}}{20}+C.

Passo 5

Faço a substituição inversa para voltar à variável t. Lembre que u=\operatorname{sen}(t-1), logo
\frac{u^{20}}{20}+C = \frac{\operatorname{sen}^{20}(t-1)}{20}+C.
Para garantir que está correto, posso checar derivando a resposta: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\left(\frac{\operatorname{sen}^{20}(t-1)}{20}\right)=\frac{1}{20}\cdot 20\operatorname{sen}^{19}(t-1)\cos(t-1)=\operatorname{sen}^{19}(t-1)\cos(t-1),
que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Passo 6

Comentário prático rápido (útil na prova): sempre que você vir algo do tipo \operatorname{sen}^{m}(ax+b)\cos(ax+b) é quase automático usar u=\operatorname{sen}(ax+b). Nesse caso du=a\cos(ax+b)\,dt, então o resultado será \dfrac{\operatorname{sen}^{m+1}(ax+b)}{a(m+1)}+C. Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{20}(t-1)}{20}+C

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