Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
integral x cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xcosl(x^2r),dx
usando série infinita. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de potências da função cosseno e a integração termo a termo dessa série.

Passo 2

Lembrando que, para todo u, vale a série de Taylor de cos(u) em torno de u=0:
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n(2n)!

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^2 nessa expansão, obtemos
cosl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(x^2r)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n(2n)!

Passo 4

Multiplicando pela fator x do integrando, chega-se à série
xcosl(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+1(2n)!

Passo 5

Como essa série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de x, podemos integrar termo a termo:
integral x^4n+1,dx =x^4n+24n+2
Logo,
integral xcosl(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,1(2n)!,x^4n+24n+2+C

Passo 6

Opcionalmente, note que 4n+2=2(2n+1), de modo que a forma pode ser escrita como
integral xcosl(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22,(2n+1),(2n)!+C

Resposta

boxedintegral xcosl(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+2(4n+2),(2n)!+C

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