Use uma série de Maclaurin na Tabela para obter a série de Taylor da função dada. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0 ]
f(x)=x sen x, a=pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=xsin x em torno de a=pi. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin de sin x (disponível na tabela) e depois fazer a mudança de variável
h = x - pi
de modo a obter uma expansão em potências de h.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin x é
sin x = sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!,

Passo 3

Substituindo x = pi + h em f(x) e usando a identidade sin(pi+h)=-sin h, obtemos
f(pi+h)=(pi+h)sin(pi+h)=-(pi+h),sin h,

Passo 4

Escrevendo -(pi+h)sin h como soma de dois termos e aplicando a série de sin h:
-(pi+h)sin h=-pisin h;-;hsin h
-pisin h=-pisumk=0^infty(-1)^kh^2k+1(2k+1)! , -hsin h=-sumk=0^infty(-1)^kh^2k+2(2k+1)!,

Passo 5

Agrupando os dois somatórios em um só, com sinal unificado, temos
f(pi+h) =sumk=0^infty(-1)^k+1pi,h^2k+1+h^2k+2(2k+1)!,

Passo 6

Voltando a variável original x, ou seja h=x-pi, a série de Taylor de f em torno de a=pi fica
boxed f(x) =sumk=0^infty(-1)^k+1pi,(x-pi)^2k+1+(x-pi)^2k+2(2k+1)!
e, listando os primeiros termos:
f(x) =-pi,(x-pi)- (x-pi)^2 +pi3!(x-pi)^3+13!(x-pi)^4 -pi5!(x-pi)^5-15!(x-pi)^6+cdots

Resposta

f(x) =sumk=0^infty(-1)^k+1pi,(x-pi)^2k+1+(x-pi)^2k+2(2k+1)!,

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