Questão 9. Considere a equação t y^prime prime-(2+t^2) y^prime+3 t y=0. Mostre que y1(t)=t^3 e y2(t)=t^2|t| são soluções. Encontre a solução geral e a que satisfaz y(1)=2, y^prime(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação homogênea de segunda ordem
t,y'' - l(2 + t^2r),y' + 3,t,y = 0
e pede para verificar que
y1(t) = t^3, y2(t) = t^2lvert trvert
são soluções, obter a solução geral por superposição e, em seguida, determinar a que satisfaz
,y(1)=2 e ,y'(1)=2.
O conteúdo principal é verificar via substituição direta e usar o princípio da superposição em equações lineares.

Passo 2

Verificamos que y1(t)=t^3 é solução. Calculamos
y1'(t) = 3,t^2, y1''(t) = 6,t
Substituindo em
t,y'' - (2+t^2),y' + 3,t,y
temos
tcdot(6t) ;-;(2+t^2)cdot(3t^2);+;3tcdot(t^3) =6t^2-6t^2-3t^4+3t^4=0,
logo y1 satisfaz a equação.

Passo 3

Agora y2(t)=t^2lvert trvert. Fazemos a verificação em cada região:
Para t>0, lvert trvert=t, então y2=t^3, e temos y2'=3t^2, y2''=6t. A substituição é idêntica à de y1, dando zero.
Para t<0, lvert trvert=-t, então y2=-t^3, e y2'=-3t^2, y2''=-6t. Substituindo também obtemos
t(-6t)-(2+t^2)(-3t^2)+3t(-t^3) =-6t^2+6t^2+3t^4-3t^4=0
Assim y2 é solução em ambos os ramos.

Passo 4

Por linearidade e homogeneidade, a solução geral é
y(t) = C1,t^3 ;+; C2,t^2lvert trvert,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 5

Impondo
e
então em (onde )
O sistema
é inconsistente (multiplicando a primeira equação por 3 daria (3C_{1}+3C_{2}=6\neq2]). Logo não há constante que satisfaça ambas as condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1,t^3 + C2,t^2lvert trvert
Não existe solução que satisfaça simultaneamente y(1)=2 e y'(1)=2.

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