Questão 9. Considere a equação . Mostre que e são soluções. Encontre a solução geral e a que satisfaz .
Passo 1
O enunciado dá a equação homogênea de segunda ordem
e pede para verificar que
são soluções, obter a solução geral por superposição e, em seguida, determinar a que satisfaz e .
O conteúdo principal é verificar via substituição direta e usar o princípio da superposição em equações lineares.
Passo 2
Verificamos que é solução. Calculamos
Substituindo em
temos
logo satisfaz a equação.
Passo 3
Agora . Fazemos a verificação em cada região:
Para , , então , e temos , . A substituição é idêntica à de , dando zero.
Para , , então , e , . Substituindo também obtemos
Assim é solução em ambos os ramos.
Passo 4
Por linearidade e homogeneidade, a solução geral é
com constantes arbitrárias.
Passo 5
Impondo
e
então em (onde )
O sistema
é inconsistente (multiplicando a primeira equação por 3 daria (3C_{1}+3C_{2}=6\neq2]). Logo não há constante que satisfaça ambas as condições iniciais.
Resposta
A solução geral é
y(t) = C1,t^3 + C2,t^2lvert trvert
Não existe solução que satisfaça simultaneamente y(1)=2 e y'(1)=2.