Questão 1:Seja R a região limitada pelas curvas x^2+y^2=6 y, x^2+y^2=8 y, y=x e y+x=0. Marque a opção que representa a integral integral duplaR 1raizx^2+y^2 d x d y após aplicar a mudança de coordenadas polares.
а) integral3 pi4^pi2 integral3 sin (theta)^4 sin (theta) r d r d theta;
b) integral4 pi3^pi2 integral2 cos (theta)^4 cos (theta) r d r d theta;
c) integral3 pi4^pi4 integral6 sin (theta)^8 sin (theta) d r d theta;
d) integralpi6^pi3 integral3 cos (theta)^cos (theta) 1r d r d theta;
e) integralpi3^pi2 integralsin (theta)^4 sin (theta) d r d theta.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaR1raizx^2+y^2,dx,dy
onde R é delimitada pelos círculos
;x^2+y^2=6y, ;x^2+y^2=8y
e pelas retas
;y=x, ;y+x=0.
Vamos usar coordenadas polares
;x=rcostheta,;y=rsintheta,
com Jacobiano r.

Passo 2

Nas polares as equações dos círculos ficam
r^2=6rsinthetaLongrightarrow r=6sintheta,
r^2=8rsinthetaLongrightarrow r=8sintheta
Logo R está entre r=6sintheta e r=8sintheta.

Passo 3

As retas y=x e y+x=0 correspondem a
theta=pi/4 e theta=-pi/4 (ou theta=3pi/4),
e como precisamos de sintheta>0 ficamos com
thetainl[pi/4,;3pi/4r]

Passo 4

Em polares o integrando e o Jacobiano dão
1raizx^2+y^2,dx,dy =1rcdot r,dr,dtheta =dr,dtheta
Assim a integral vira
integralpi/4^3pi/4integral6sintheta^8sinthetadr,dtheta

Passo 5

Comparando com as alternativas, a única que usa
,dr,dtheta e limites 6sintheta a 8sintheta é a (c) (ainda que nela os limites de theta estejam invertidos).

Resposta

(c)

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