Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o intervalo de convergência?
integral arctg xx d x.

Passo 1

Estamos calculando a integral indefinida por meio de série de potências. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Maclaurin de e integração termo a termo. Vamos precisar usar a fórmula de expansão e depois integrar cada termo.

Passo 2

Sabemos que para |x|<1 vale a expansão em série de Maclaurin:
Dividindo por arctg x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1 obtemos
Isso é um passo-chave: expressamos nosso integrando como série de potências.

Passo 3

Agora integramos termo a termo, usando integral x^2n,dx=x^2n+12n+1. Então
Ou seja,

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, note que a série original de tem raio de convergência 1. A divisão por arctg x não altera o raio, nem a integração termo a termo. Logo o raio continua 1, ou seja, a série converge para x. Nos extremos |x|<1 a série converge condicionalmente por ser alternada (critérios de Leibniz).

Resposta

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