Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o intervalo de convergência?
.
Passo 1
Estamos calculando a integral indefinida por meio de série de potências. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Maclaurin de e integração termo a termo. Vamos precisar usar a fórmula de expansão e depois integrar cada termo.
Passo 2
Sabemos que para
vale a expansão em série de Maclaurin:
Dividindo por
obtemos
Isso é um passo-chave: expressamos nosso integrando como série de potências.
Passo 3
Agora integramos termo a termo, usando
. Então
Ou seja,
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, note que a série original de tem raio de convergência 1. A divisão por
não altera o raio, nem a integração termo a termo. Logo o raio continua 1, ou seja, a série converge para
. Nos extremos
a série converge condicionalmente por ser alternada (critérios de Leibniz).