Mostre que é simétrica definida positiva, em que
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PROF. SÉRGIO M. GASPECHAK
8 INVERSÃO DE MATRIZES
Passo 1
Temos a matriz A dada por A=2 & -2 & 30 & 2 & 45 & 4 & -1 O enunciado pede para mostrar que A^tA é simétrica definida positiva. Para isso, vamos usar conceitos de transposta de matriz, simetria e definição de positividade em termos de x^t(A^tA)x.
Passo 2
Usando a propriedade de transposta de produto, temos
(A^tA)^t = A^t (A^t)^t = A^tA
Isso mostra que A^tA é simétrica.
Passo 3
Para verificar positividade, note que para qualquer vetor não‐nulo x,
x^t(A^tA)x = (Ax)^t(Ax) = |Ax|^2
Logo basta garantir que Axneq0 sempre que xneq0.
Passo 4
Calculemos o determinante de A para verificar se A é invertível: