Mostre que A^t A é simétrica definida positiva, em que
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PROF. SÉRGIO M. GASPECHAK
8 INVERSÃO DE MATRIZES
A=[ccc 2 & -2 & 3 0 & 2 & 4 5 & 4 & -1 ]

Passo 1

Temos a matriz A dada por A=2 & -2 & 30 & 2 & 45 & 4 & -1 O enunciado pede para mostrar que A^tA é simétrica definida positiva. Para isso, vamos usar conceitos de transposta de matriz, simetria e definição de positividade em termos de x^t(A^tA)x.

Passo 2

Usando a propriedade de transposta de produto, temos
(A^tA)^t = A^t (A^t)^t = A^tA
Isso mostra que A^tA é simétrica.

Passo 3

Para verificar positividade, note que para qualquer vetor não‐nulo x,
x^t(A^tA)x = (Ax)^t(Ax) = |Ax|^2
Logo basta garantir que Axneq0 sempre que xneq0.

Passo 4

Calculemos o determinante de A para verificar se A é invertível:
det A = 22 & 44 & -1 -(-2)0 & 45 & -1 +30 & 25 & 4 = -106 neq 0
Como det Aneq0, A é invertível e, portanto, Axneq0 para todo xneq0. Assim |Ax|^2>0.

Passo 5

Concluímos que A^tA é simétrica e, para todo xneq0, x^t(A^tA)x=|Ax|^2>0. Portanto, A^tA é definida positiva.

Resposta

A^tA é simétrica definida positiva.
De fato, temos
A^tA=29 & 16 & 116 & 24 & -21 & -2 & 26
e para todo vetor xneq0 resulta
x^t(A^tA)x=|Ax|^2>0

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