Encontre a série de MacLaurin de f centrada em 4 se f^(n)(4)=(-1)^n n!3^n(n+1). Encontre o seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (às vezes chamada Maclaurin equivocadamente) de uma função f centrada em a=4, sabendo que f^(n)(4)=(-1)^n,dfracn!3^n(n+1). Vamos usar a definição de séries de Taylor e depois achar o raio e intervalo de convergência.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de f em torno de a=4 é
f(x)= sumn=0^infty f^(n)(4)n!,(x-4)^n
Aqui o conteúdo teórico é lembrar que cada termo é f^(n)(a)/n! vezes (x-a)^n.

Passo 3

Substituindo f^(n)(4)=(-1)^n,dfracn!3^n(n+1) na fórmula acima, o n! cancela e obtemos
f(x)= sumn=0^infty (-1)^n3^n,(n+1),(x-4)^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão no termo geral
an=(-1)^n3^n(n+1)(x-4)^n
Calculamos
$$
L=
\lim_{n\to\infty}
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|

\lim_{n\to\infty}
\frac{|x-4|}{3},\frac{n+1}{n+2}

\frac{|x-4|}{3}.
$$
Para convergência, queremos L= limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x-4|3,n+1n+2 = |x-4|3 , isto é L<1.

Passo 5

Agora testamos os extremos x=4pm3:
Para x=7, temos
f(x)= sumn=0^infty (-1)^nn+1,
que converge por ser série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero.
Para x=1, o termo geral fica
1n+1,
que diverge como série harmônica. Logo, convergimos em |x-4|<3 mais o extremo x=7.

Resposta

A série de Taylor de f centrada em 4 é
sumn=0^infty (-1)^n3^n(n+1),(x-4)^n
O intervalo de convergência é
1 < x <= 7

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