Encontre a série de MacLaurin de
centrada em 4 se
. Encontre o seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (às vezes chamada Maclaurin equivocadamente) de uma função f centrada em a=4, sabendo que
. Vamos usar a definição de séries de Taylor e depois achar o raio e intervalo de convergência.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de f em torno de
é
Aqui o conteúdo teórico é lembrar que cada termo é
vezes
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula acima, o
cancela e obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão no termo geral
Calculamos
$$
L=
\lim_{n\to\infty}
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
\lim_{n\to\infty}
\frac{|x-4|}{3},\frac{n+1}{n+2}
\frac{|x-4|}{3}.
$$
Para convergência, queremos , isto é
.
Para convergência, queremos
Passo 5
Agora testamos os extremos
:
Para , temos
Para
que converge por ser série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero.
Para , o termo geral fica
Para
que diverge como série harmônica. Logo, convergimos em
mais o extremo
.
Resposta
A série de Taylor de f centrada em 4 é
O intervalo de convergência é