Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
a y^prime prime+b y^prime+c y=0
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
2 y^prime prime+9 y^prime+10 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação geral que estamos vendo é:
2 y^prime prime + 9 y^prime + 10 y = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, dependendo das raízes, determinar a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, precisamos construir a equação característica da EDO. Para uma equação geral:
a y^prime prime + b y^prime + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
Isso acontece porque assumimos soluções do tipo y = e^r x, e ao substituir na EDO, acabamos com essa equação quadrática.

Passo 3

No nosso caso, os coeficientes são:
  • a = 2
  • b = 9
  • c = 10
Substituindo na equação característica:
2 r^2 + 9 r + 10 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática 2 r^2 + 9 r + 10 = 0, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c 2 a
Substituindo os valores:
r = -9 pm raiz9^2 - 4 cdot 2 cdot 10 2 cdot 2 = -9 pm raiz81 - 80 4 = -9 pm raiz1 4
Portanto, as raízes são:
r1 = -9 + 1 4 = -8 4 = -2
r2 = -9 - 1 4 = -10 4 = -2.5

Passo 5

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial 2 y^prime prime + 9 y^prime + 10 y = 0 é:
y(x) = C1 e^-2 x + C2 e^-2.5 x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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