Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação geral que estamos vendo é:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, dependendo das raízes, determinar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, precisamos construir a equação característica da EDO. Para uma equação geral:
A equação característica é:
Isso acontece porque assumimos soluções do tipo
, e ao substituir na EDO, acabamos com essa equação quadrática.
Passo 3
No nosso caso, os coeficientes são:
Substituindo na equação característica:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.