Sejam f: R R uma função contínua tal que 0 se x in(0,1) e an: n in N uma coleção de números reais não negativos tal que sumn=1^infty an converge. Mostre que sumn=1^infty f(an) é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função contínua que satisfaz para todo no intervalo . Além disso, temos uma sequência de números reais não negativos cuja série converge. Nosso objetivo é mostrar que a série também converge. Vamos utilizar conceitos de análise de séries e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Como a série converge e todos os termos são não negativos, sabemos que é uma série de termos positivos que soma um valor finito. Além disso, a função é contínua e nos dá valores menores que no intervalo . Isso nos sugere que para cada .

Passo 3

Para provar a convergência de , podemos usar o Teste de Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries de termos positivos e , e se para todo a partir de certo ponto, então:
  • Se converge, então também converge.
  • Se diverge, então também diverge.

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação ao nosso caso, vamos comparar as séries e . Sabemos que para cada , já que e a função satisfaz essa desigualdade nesse intervalo.

Passo 5

Como é uma série convergente e para cada , pelo Teste de Comparação, a série também deve convergir. Isso ocorre porque estamos somando termos menores que os termos de uma série que já sabemos que converge.

Resposta

Portanto, a série é convergente.

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