Sejam
uma função contínua tal que
se
e
uma coleção de números reais não negativos tal que
converge. Mostre que
é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função contínua
que satisfaz
para todo
no intervalo
. Além disso, temos uma sequência de números reais não negativos
cuja série
converge. Nosso objetivo é mostrar que a série
também converge. Vamos utilizar conceitos de análise de séries e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Como a série
converge e todos os termos
são não negativos, sabemos que é uma série de termos positivos que soma um valor finito. Além disso, a função
é contínua e nos dá valores menores que
no intervalo
. Isso nos sugere que
para cada
.
Passo 3
Para provar a convergência de
, podemos usar o Teste de Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries de termos positivos
e
, e se
para todo
a partir de certo ponto, então:
- Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação ao nosso caso, vamos comparar as séries
e
. Sabemos que
para cada
, já que
e a função
satisfaz essa desigualdade nesse intervalo.
Passo 5
Como
é uma série convergente e
para cada
, pelo Teste de Comparação, a série
também deve convergir. Isso ocorre porque estamos somando termos menores que os termos de uma série que já sabemos que converge.
Resposta
Portanto, a série
é convergente.