Calcule a integral indefinida com as substituições dadas.
integral csc ^2 2 theta cot 2 theta d theta, usando u=csc 2 theta

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral csc^2(2theta),cot(2theta),dtheta usando a substituição u=csc(2theta). O conteúdo aqui é integração por substituição em funções trigonométricas.

Passo 2

A partir da substituição u=csc(2theta), vamos achar du. Sabemos que ddxl(csc xr)=-csc x,cot x e aplicando a regra da cadeia em csc(2theta):
du = dl(csc(2theta)r) = -csc(2theta),cot(2theta) cdot 2,dtheta = -2,csc(2theta),cot(2theta),dtheta

Passo 3

Agora isolamos csc(2theta)cot(2theta),dtheta em função de du:
csc(2theta),cot(2theta),dtheta = -tfrac12,du

Passo 4

Substituímos na integral original. Note que csc^2(2theta)=[csc(2theta)]^2=u^2, então:
integral csc^2(2theta),cot(2theta),dtheta = integral u^2l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral u^2,du

Passo 5

Agora é só integrar um polinômio:
-tfrac12integral u^2,du = -tfrac12 cdot u^33 + C = -u^36 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original theta, lembrando que u=csc(2theta):
-u^36 + C = -16,csc^3(2theta) + C

Resposta

-\frac{1}{6},\csc^3(2\theta) + C

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