Sejam
definidas por
respectivamente. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da função $ f(x)g(x) $, onde:
- $ f(x) = x^{2} e $
- $ g(x) $ é uma função que vale 1 se $ x $ é um número racional ($ \mathbb{Q} $) e -1 se $ x $ é irracional ($ \mathbb{R} - \mathbb{Q} $).
Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular $ \lim_{x \to 0} f(x)g(x) $. Basicamente, queremos saber para quais valores essa função se aproxima quando $ x $ fica bem perto de 0.
Sabemos que:
Isso significa que $ f(x) $ é igual a $ x^{2} $ vezes a constante $ e $ (aproximadamente 2,71828).
Já $ g(x) $ muda de valor dependendo se $ x $ é racional ou irracional. Então, a função $ g(x) $ oscila entre 1 e -1 conforme nos aproximamos de 0.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as duas funções:
Isso nos dá:
- Se $ x $ é racional: $ f(x)g(x) = x^{2} e \cdot 1 = x^{2} e $
- Se $ x $ é irracional: $ f(x)g(x) = x^{2} e \cdot (-1) = -x^{2} e $
Então, estamos lidando com duas situações dependendo da natureza de $ x $.
Passo 4
Para calcular o limite, observamos o comportamento de $ x^{2} e $ quando $ x $ se aproxima de 0. Sabemos que $ x^{2} $ tende a 0 conforme $ x $ tende a 0, independentemente do valor de $ e $, que é uma constante.
Então:
E:
Passo 5
Mesmo que $ g(x) $ oscile entre 1 e -1, multiplicando por $ x^{2} e $, que tende a 0, o resultado final também tende a 0. Isso porque qualquer número pequeno multiplicado por algo que vai para 0 também tende a 0.
Portanto, não importa se $ x $ é racional ou irracional, o limite da função $ f(x)g(x) $ sempre será 0.