Seja
uma função tal que
para todo
.
(1) Calcule, caso exista,
;
(1) Calcule, caso exista,
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre limites de funções. A questão nos pede para calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0, dado que $ |f(x)| \leq x^{2} $ para todo $ x $ real. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e usar o teorema do sanduíche.
Passo 2
Primeiro, observamos que $ |f(x)| \leq x^{2} $. Isso significa que o valor absoluto de $ f(x) $ nunca é maior que $ x^{2} $, ou seja, $ f(x) $ está “presa” entre $ -x^{2} $ e $ x^{2} $.
Passo 3
Sabemos que $ \lim_{x \rightarrow 0} x^{2} = 0 $. Como $ x^{2} $ se aproxima de 0 quando $ x $ se aproxima de 0, os limites de $ -x^{2} $ e $ x^{2} $ também são 0.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche, que diz que se $ g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ e $ \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) = L $, então $ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L $. No nosso caso, $ -x^{2} \leq f(x) \leq x^{2} $ e ambos os limites laterais são 0. Portanto, o limite de $ f(x) $ também é 0.
Resposta
$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 $