Calcule a integral indefinida:
∫tg3xcos4xdx
∫tg3xcos4xdx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida. Vou interpretar o integrando como
. Portanto, o que temos é:
Informações dadas: integrando composto por potências de funções trigonométricas
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada seja o integrando), mais constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever
em termos de
e
, porque isso costuma simplificar produtos de trigonometria. Lembre que
. Então
Agora faço as potências explodirem e simplificar as potências de
:
Explicando:
. Portanto a integral original fica muito mais simples:
Passo 3
Agora escolho uma substituição óbvia: como aparece um fator
multiplicando uma função de
, é natural definir
Explico por quê: a diferencial de
será proporcional a
, exatamente o que temos multiplicando
. Calculando a diferencial,
Assim a integral transforma-se em uma integral em
:
Aqui cada símbolo:
é a nova variável,
é a diferencial correspondente, e
significa
reescrito em termos de
.
Passo 4
Agora aplico a regra de potência para integrais: se
,
. No nosso caso
, então
Explicando a regra: ao integrar elevamos a potência em uma unidade e dividimos pelo novo expoente.
é a constante de integração, obrigatória em integrais indefinidas.
Passo 5
Agora volto à variável original
substituindo
:
Faço uma verificação rápida (que sempre dá segurança numa prova): derivando a proposta de primitiva obtemos
que é precisamente o integrando simplificado, então está correto.