Calcule a integral indefinida:
∫tg3xcos4xdx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida. Vou interpretar o integrando como \tan^3 x \cos^4 x. Portanto, o que temos é:
\int \tan^3 x \cos^4 x \, dx.
Informações dadas: integrando composto por potências de funções trigonométricas \tan x e \cos x. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada seja o integrando), mais constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever \tan x em termos de \sin x e \cos x, porque isso costuma simplificar produtos de trigonometria. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então
\tan^3 x \cos^4 x = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^3 \cos^4 x.
Agora faço as potências explodirem e simplificar as potências de \cos x:
\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^3 \cos^4 x = \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}\cdot \cos^4 x = \sin^3 x\cos x.
Explicando: \cos^4 x/\cos^3 x=\cos^{4-3}x=\cos x. Portanto a integral original fica muito mais simples:
\int \tan^3 x \cos^4 x \, dx = \int \sin^3 x \cos x \, dx.

Passo 3

Agora escolho uma substituição óbvia: como aparece um fator \cos x\,dx multiplicando uma função de \sin x, é natural definir
u=\sin x.
Explico por quê: a diferencial de u será proporcional a \cos x\,dx, exatamente o que temos multiplicando \sin^3 x. Calculando a diferencial,
du=\cos x\,dx.
Assim a integral transforma-se em uma integral em u:
\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du.
Aqui cada símbolo: u é a nova variável, du é a diferencial correspondente, e u^3 significa (\sin x)^3 reescrito em termos de u.

Passo 4

Agora aplico a regra de potência para integrais: se n\neq -1, \displaystyle \int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. No nosso caso n=3, então
\int u^3\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.
Explicando a regra: ao integrar elevamos a potência em uma unidade e dividimos pelo novo expoente. C é a constante de integração, obrigatória em integrais indefinidas.

Passo 5

Agora volto à variável original x substituindo u=\sin x:
\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C.
Faço uma verificação rápida (que sempre dá segurança numa prova): derivando a proposta de primitiva obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin^4 x}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\sin^3 x\cos x=\sin^3 x\cos x,
que é precisamente o integrando simplificado, então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^4 x}{4}+C

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