Calcule a integral indefinida usando o método de mudança de variáveis (substituição).
integral(x^3+2)^5 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (x^3+2)^5x^2,dx usando o método de mudança de variáveis (substituição). Vamos aplicar a regra da cadeia invertida em integrais, identificando uma função interna cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^3 + 2. Pela derivação, temos
du = 3x^2,dx
Logo, podemos isolar x^2dx:
x^2,dx = 13,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral (x^3+2)^5x^2,dx = integral u^5 l(13,dur) = 13 integral u^5,du

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potência em integrais:
integral u^5,du = u^66 + C

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac13 temos
13 cdot u^66 + C = u^618 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x, lembrando que u = x^3+2. Assim obtém-se a antiderivada.

Resposta

(x^3+2)^618 + C

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