Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=x(1+x^2)^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)=x(1+x^2)^2. Vamos usar conteúdo de transformadas de Fourier e, em especial, a propriedade que relaciona multiplicação por x no domínio do tempo com derivação em frequência. Também vamos precisar conhecer a transformada de Fourier de g(x)=1(1+x^2)^2.

Passo 2

A transformada de Fourier de g(x)=1(1+x^2)^2 é bem conhecida (pode ser obtida por convolução ou tabela):
G(omega)=Fg(x)(omega)=pi2,|omega|,e^-|omega|
A propriedade de derivação diz que, se G(omega)=Fg(x)(omega), então
Fx,g(x)(omega)=i,ddomegaG(omega)
No nosso caso, f(x)=x,g(x) com g(x)=1/(1+x^2)^2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada G'(omega)=ddomegal(tfracpi2|omega|e^-|omega|r) de forma peça a peça.
Para omega>0:
G(omega)=pi2,omega,e^-omega,
G'(omega)=pi2l(e^-omega-omega e^-omegar)=pi2e^-omega(1-omega)
Para omega<0:
G(omega)=pi2(-omega)e^omega,
G'(omega)=pi2l(-e^omega-omega e^omegar)=-pi2e^omega(1+omega)

Passo 4

Finalmente, usando Ff(x)(omega)=iG'(omega), obtemos a forma peça a peça:
Ftfracx(1+x^2)^2(omega)= ipi2e^-omega(1-omega), & omega>0, -ipi2e^omega(1+omega), & omega<0
Ou de forma unificada em termos de sgn(omega) e |omega|:
boxedFtfracx(1+x^2)^2(omega)=ipi2,sgn(omega),(1-|omega|),e^-|omega|

Passo 5

Este resultado é puramente imaginário e ímpar em omega, conforme esperado, já que f(x) é uma função real e ímpar.

Resposta

Ftfracx(1+x^2)^2(omega)=ipi2,sgn(omega),(1-|omega|),e^-|omega|.

Exercícios relacionados