Enumere os múltiplos dos números a seguir e determine o mmc em cada caso.
4 e 6
4 e 6
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os números
e
:
- Enumerar os múltiplos de
. - Enumerar os múltiplos de
. - Determinar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre
e .
Informações dadas: os dois números são
e
. Não há mais dados ocultos.
Passo 2
O que são múltiplos? Vou explicar bem mastigado: um número
é múltiplo de um número
quando existe um inteiro positivo
tal que
onde
(aqui uso
para os naturais:
). Isso significa que, para listar os múltiplos de
, basta multiplicar
por
.
Exemplo simples antes de aplicar: múltiplos de
são
,
,
, etc.
Passo 3
Agora aplico para
e
. Vou listar os primeiros vários múltiplos (é comum listar os primeiros 8–10 para identificar padrões e ver o mmc):
Múltiplos de
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ou seja:
Ou seja:
Múltiplos de
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ou seja:
Ou seja:
Passo 4
Encontrando múltiplos em comum: comparando as duas listas vemos os números que aparecem em ambas:
O menor (o primeiro) desses é
. Por definição, o mínimo múltiplo comum (mmc) entre
e
é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de ambos; portanto, pela enumeração:
Passo 5
Vou ensinar outro jeito muito útil (mais rápido para números maiores): fatoração em primos e regra dos maiores expoentes.
Passo-a-passo da ideia:
- Decompor cada número em fatores primos.
- Para cada primo que aparece em alguma decomposição, tomar a maior potência desse primo entre os dois números.
- Multiplicar essas potências — o resultado é o mmc.
Aplicando:
-
(porque ). -
(porque ).
Tomando as maiores expoentes para cada primo:
- Para o primo
: maiores expoentes entre e é . - Para o primo
: aparece só em como , então fica .
Multiplicando:
Isso confirma o resultado da enumeração.
Passo 6
Uma dica extra rápida para a prova: use a relação entre mmc e mdc (máximo divisor comum):
Aqui
, então
. Esse método é rápido quando se sabe o mdc (pode-se encontrar o mdc com o algoritmo de Euclides).
Força aí — você já tem três maneiras (listar, fatoração, fórmula com mdc) para usar na prova; escolha a que for mais rápida no momento.
Resposta
Múltiplos de
:
Múltiplos de :
Múltiplos de