Dados os vetores \mathbf{M}=-10 \mathbf{a}_{x}+4 \mathbf{a}_{y}-8 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{N}=8 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, encontre:
(c) |\mathbf{M}||2 \mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N}).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathbf{M} e \mathbf{N} e pede para calcular a expressão
|\mathbf{M}||2\mathbf{N}|(\mathbf{M}+\mathbf{N}).
As informações fornecidas:
\mathbf{M} = -10\,\mathbf{a}_x + 4\,\mathbf{a}_y -8\,\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{N} = 8\,\mathbf{a}_x + 7\,\mathbf{a}_y -2\,\mathbf{a}_z.
Vou interpretar a expressão como: calcular o escalar |\mathbf{M}||2\mathbf{N}| e depois multiplicar esse escalar pelo vetor \mathbf{M}+\mathbf{N}. A resposta será, portanto, um vetor.

Passo 2

Lembrete rápido sobre norma (módulo) de um vetor: para um vetor \mathbf{v}=v_x\mathbf{a}_x+v_y\mathbf{a}_y+v_z\mathbf{a}_z,
|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Vamos aplicar isso a \mathbf{M}. Os componentes de \mathbf{M} são v_x=-10,\;v_y=4,\;v_z=-8. Então
|\mathbf{M}|=\sqrt{(-10)^2+4^2+(-8)^2}=\sqrt{100+16+64}=\sqrt{180}.
Podemos fatorar \sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}. Logo
|\mathbf{M}|=6\sqrt{5}.

Passo 3

Calcular |\mathbf{N}| com a mesma fórmula. Componentes de \mathbf{N}: 8,7,-2. Assim
|\mathbf{N}|=\sqrt{8^2+7^2+(-2)^2}=\sqrt{64+49+4}=\sqrt{117}.
Fatorando \sqrt{117}=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}. Portanto
|\mathbf{N}|=3\sqrt{13}.

Passo 4

Usar a propriedade da norma sob multiplicação escalar: para escalar c e vetor \mathbf{v},
|c\mathbf{v}|=|c|\,|\mathbf{v}|.
Aqui c=2, então
|2\mathbf{N}|=2|\mathbf{N}|=2\cdot(3\sqrt{13})=6\sqrt{13}.

Passo 5

Calcular o escalar S=|\mathbf{M}||2\mathbf{N}|:
S = (6\sqrt{5})(6\sqrt{13}) = 36\sqrt{5\cdot13}=36\sqrt{65}.
Portanto o fator escalar é 36\sqrt{65}.

Passo 6

Calcular o vetor \mathbf{M}+\mathbf{N} somando componentes correspondentes:
\mathbf{M}+\mathbf{N}=(-10+8)\mathbf{a}_x+(4+7)\mathbf{a}_y+(-8-2)\mathbf{a}_z.
Fazendo as somas:
\mathbf{M}+\mathbf{N} = -2\,\mathbf{a}_x + 11\,\mathbf{a}_y -10\,\mathbf{a}_z.

Passo 7

Multiplicar o escalar S=36\sqrt{65} pelo vetor \mathbf{M}+\mathbf{N} componente a componente:
36\sqrt{65}\,(-2)\,\mathbf{a}_x = -72\sqrt{65}\,\mathbf{a}_x,
36\sqrt{65}\,(11)\,\mathbf{a}_y = 396\sqrt{65}\,\mathbf{a}_y,
36\sqrt{65}\,(-10)\,\mathbf{a}_z = -360\sqrt{65}\,\mathbf{a}_z.
Somando essas componentes obtemos o vetor resultado.

Resposta

-72\sqrt{65}\,\mathbf{a}_x + 396\sqrt{65}\,\mathbf{a}_y -360\sqrt{65}\,\mathbf{a}_z

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