Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
a) \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x=
b)
\int_{-1 / 3}^{1 / 3} \frac{1}{1+9 x^{2}} d x=
c)
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular, primeiro a integral indefinida (antiderivada) e em seguida usar esse resultado para calcular a integral definida, nos três casos:
  • (a) \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx. Precisa-se obter a antiderivada \displaystyle \int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx e depois usar nos limites 0 e 2.
  • (b) \displaystyle \int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx. Precisa-se obter a antiderivada \displaystyle \int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx e depois avaliar entre -\tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{3}.
  • (c) \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx. Precisa-se obter a antiderivada \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx e depois avaliar entre 1 e 3.
As informações relevantes: os integrandos e os intervalos de integração já estão dados acima; não há imagens. Vou calcular cada antiderivada com explicação passo a passo e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter cada integral definida.

Passo 2

Parte (a) — escolher uma substituição útil e entender por quê.
Observação prática: o integrando é x vezes uma função de x^{2}, isto sugere a substituição de uma expressão que contenha x^{2}. Definimos
u = 1 + 2x^{2}.
Agora calculamos a diferencial du. Diferenciando em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(1+2x^{2})\,dx = 4x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Isso é ótimo porque no integrando temos exatamente um x\,dx.

Passo 3

Parte (a) — substituir e integrar.
Substituindo \,u=1+2x^{2} e \,x\,dx=\tfrac{1}{4}du na integral indefinida,
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \int x\cdot u^{1/2}\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrais: para \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1). Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{6}u^{3/2} + C.
Voltando a x,
\boxed{\displaystyle \int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2} + C.}

Passo 4

Parte (a) — usar a antiderivada para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x) é uma antiderivada, então
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = F(2)-F(0).
Usando F(x)=\dfrac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2}:
F(2)=\frac{1}{6}\bigl(1+2\cdot 2^{2}\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\bigl(1+8\bigr)^{3/2}=\frac{1}{6}\cdot 9^{3/2}.
Calcule 9^{3/2}: \,9^{1/2}=3 e 3^{3}=27, logo 9^{3/2}=27. Assim F(2)=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}.
Agora F(0)=\dfrac{1}{6}(1+0)^{3/2}=\dfrac{1}{6}.
Portanto
\int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{9}{2}-\frac{1}{6}=\frac{27-1}{6}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.

Passo 5

Parte (b) — reconhecer a forma e escolher a antiderivada conhecida.
A integral é da forma \displaystyle \int \frac{1}{1+a^{2}x^{2}}\,dx. Há uma fórmula padrão: para a>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(ax)\bigr) = \frac{a}{1+a^{2}x^{2}}.
Isto vem da regra da cadeia e da derivada \dfrac{d}{du}\arctan u = \dfrac{1}{1+u^{2}}. Da identidade acima segue que
\int \frac{1}{1+a^{2}x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan(ax) + C.
No nosso caso a=3. Logo a antiderivada é
\boxed{\displaystyle \int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan(3x) + C.}

Passo 6

Parte (b) — calcular a integral definida \displaystyle \int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx.
Aplicando a antiderivada F(x)=\dfrac{1}{3}\arctan(3x),
\int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-F\!\left(-\tfrac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\arctan(1) - \frac{1}{3}\arctan(-1).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4},
\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4} - \bigl(-\frac{\pi}{4}\bigr)\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}.
Observação: a função é par (simétrica), então era de se esperar que a integral de -a a a fosse 2 vezes a integral de 0 a a; o cálculo acima confirma o resultado.

Passo 7

Parte (c) — escolher substituição e integrar.
No integrando \dfrac{x}{x^{2}+1} a substituição natural é
u = x^{2}+1.
Diferenciando,
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral indefinida,
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
A integral de 1/u é o logaritmo natural: \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Assim
\boxed{\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.}

Passo 8

Parte (c) — usar a antiderivada para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Com F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1),
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = F(3)-F(1) = \frac{1}{2}\ln(3^{2}+1) - \frac{1}{2}\ln(1^{2}+1).
Compute 3^{2}+1=10 e 1^{2}+1=2. Portanto
\frac{1}{2}\ln(10) - \frac{1}{2}\ln(2) = \frac{1}{2}\bigl(\ln(10)-\ln(2)\bigr) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln 5.

Resposta

a) \displaystyle \int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2} + C; \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{13}{3}
b) \displaystyle \int \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan(3x) + C; \displaystyle \int_{-1/3}^{1/3} \frac{1}{1+9x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{6}
c) \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C; \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 5

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