Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida
a)
b)
c)
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, primeiro a integral indefinida (antiderivada) e em seguida usar esse resultado para calcular a integral definida, nos três casos:
-
(a)
. Precisa-se obter a antiderivada e depois usar nos limites e . -
(b)
. Precisa-se obter a antiderivada e depois avaliar entre e . -
(c)
. Precisa-se obter a antiderivada e depois avaliar entre e .
As informações relevantes: os integrandos e os intervalos de integração já estão dados acima; não há imagens. Vou calcular cada antiderivada com explicação passo a passo e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter cada integral definida.
Passo 2
Parte (a) — escolher uma substituição útil e entender por quê.
Observação prática: o integrando é
vezes uma função de
, isto sugere a substituição de uma expressão que contenha
. Definimos
Agora calculamos a diferencial
. Diferenciando em relação a
,
Isolando
obtemos
Isso é ótimo porque no integrando temos exatamente um
.
Passo 3
Parte (a) — substituir e integrar.
Substituindo
e
na integral indefinida,
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
(quando
). Aqui
, então
Voltando a
,
Passo 4
Parte (a) — usar a antiderivada para calcular a integral definida
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma antiderivada, então
Usando
:
Calcule
:
e
, logo
. Assim
.
Agora
.
Portanto
Passo 5
Parte (b) — reconhecer a forma e escolher a antiderivada conhecida.
A integral é da forma
. Há uma fórmula padrão: para
,
Isto vem da regra da cadeia e da derivada
. Da identidade acima segue que
No nosso caso
. Logo a antiderivada é
Passo 6
Parte (b) — calcular a integral definida
.
Aplicando a antiderivada
,
Sabendo que
e
,
Observação: a função é par (simétrica), então era de se esperar que a integral de
a
fosse
vezes a integral de
a
; o cálculo acima confirma o resultado.
Passo 7
Parte (c) — escolher substituição e integrar.
No integrando
a substituição natural é
Diferenciando,
Substituindo na integral indefinida,
A integral de
é o logaritmo natural:
. Assim
Passo 8
Parte (c) — usar a antiderivada para calcular a integral definida
.
Com
,
Compute
e
. Portanto
Resposta
a)
;
b)
;
c)
;