Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{x}{3}\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida correspondente ao integrando e, em seguida, usar esse resultado para avaliar a integral dupla
\int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{x}{3}\right).
  • O integral interna é em x com limites 0 a \pi: \displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
  • O integral externa tem limites 0 a \dfrac{\pi}{6}. (Como a integral interna resulta em um número que não depende da variável externa, a integral dupla será esse número vezes o comprimento do intervalo externo.)

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar):
  • A primitiva básica é \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\tan(u)+C. Isso vem porque \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
  • Quando a função dentro de \operatorname{sec}^{2}(\cdot) é uma função linear de x, por exemplo u=\dfrac{x}{3}, usa-se substituição (regra da cadeia) para ajustar o fator que aparece ao derivar u.

Passo 3

Calcular a primitiva de \operatorname{sec}^{2}\!\left(\dfrac{x}{3}\right) por substituição. Ponha
u=\frac{x}{3}.
Então
du=\frac{1}{3}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=3\,du.
Substituindo na integral indefinida:
\int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot 3\,du = 3\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Usando \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du=\tan(u)+C obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = 3\tan(u)+C = 3\tan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.
Portanto a antiderivada é \;3\tan\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C.

Passo 4

Agora uso essa primitiva para calcular a integral interna definida
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx.
Aplicando a primitiva \;3\tan\!\left(\dfrac{x}{3}\right) nos limites 0 e \pi:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = 3\tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right) - 3\tan\!\left(0\right).
Sabendo que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} e \tan(0)=0, segue
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = 3\sqrt{3}.

Passo 5

A integral dupla original é a integral externa da constante resultante da interna. Ou seja,
\int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx = \int_{0}^{\pi/6} \biggl( \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x}{3}\right)\,dx \biggr) dy,
onde a variável externa (aqui escrita y por clareza) não aparece no integrando interno, então o valor interno é a constante \;3\sqrt{3}. Assim
\int_{0}^{\pi/6} 3\sqrt{3}\,dy = 3\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\pi}{6}-0\right).

Passo 6

Calcule a multiplicação:
3\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{3}{6}\,\pi\sqrt{3} = \frac{1}{2}\,\pi\sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt{3}}{2}

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