Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida correspondente ao integrando e, em seguida, usar esse resultado para avaliar a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - O integral interna é em
com limites a : . - O integral externa tem limites
a . (Como a integral interna resulta em um número que não depende da variável externa, a integral dupla será esse número vezes o comprimento do intervalo externo.)
Passo 2
Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar):
- A primitiva básica é
. Isso vem porque . - Quando a função dentro de
é uma função linear de , por exemplo , usa-se substituição (regra da cadeia) para ajustar o fator que aparece ao derivar .
Passo 3
Calcular a primitiva de
por substituição. Ponha
Então
Substituindo na integral indefinida:
Usando
obtemos
Portanto a antiderivada é
.
Passo 4
Agora uso essa primitiva para calcular a integral interna definida
Aplicando a primitiva
nos limites
e
:
Sabendo que
e
, segue
Passo 5
A integral dupla original é a integral externa da constante resultante da interna. Ou seja,
onde a variável externa (aqui escrita
por clareza) não aparece no integrando interno, então o valor interno é a constante
. Assim
Passo 6
Calcule a multiplicação: