Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida: \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x=
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada e, em seguida, usar esse resultado para calcular a integral definida entre 1 e 3. As informações relevantes são:
A integranda é \dfrac{x}{x^{2}+1}.
Primeiro deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida) \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Depois usar essa primitiva para avaliar a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Passo 2
Ideia de resolução (método): observar que o denominador \,x^{2}+1\, tem derivada 2x, que é proporcional ao numerador x. Isso é um clássico caso para o método de substituição (trocar a variável por u igual ao denominador), que simplifica a integral para uma forma conhecida. Explicando o método de substituição: se escolhermos u tal que du seja um múltiplo de dx que aparece na integral, podemos reescrever toda a integral em termos de u e du, e então integrar uma função mais simples.
Escolher:
u = x^{2}+1.
Então derivando ambos os lados,
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Note que u>0 para todo x, pois x^{2}+1\ge 1, então não há problema com valores negativos dentro do \ln que aparecerá.
Passo 3
Fazer a substituição na integral indefinida. Começamos por
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Usando u=x^{2}+1 e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, a integral vira
Verificação rápida por um exemplo parecido para fixar o método: se tivesse \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx, com a mesma ideia u=x^{2}+3 teria du=2x\,dx e a integral seria \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln(u)+C=\ln(x^{2}+3)+C. Isso mostra que reconhecer a derivada do denominador no numerador é um atalho poderoso e frequente em prova.