Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada e, em seguida, usar esse resultado para calcular a integral definida entre 1 e 3. As informações relevantes são:
  • A integranda é \dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Primeiro deve-se encontrar uma primitiva (integral indefinida) \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
  • Depois usar essa primitiva para avaliar a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 2

Ideia de resolução (método): observar que o denominador \,x^{2}+1\, tem derivada 2x, que é proporcional ao numerador x. Isso é um clássico caso para o método de substituição (trocar a variável por u igual ao denominador), que simplifica a integral para uma forma conhecida. Explicando o método de substituição: se escolhermos u tal que du seja um múltiplo de dx que aparece na integral, podemos reescrever toda a integral em termos de u e du, e então integrar uma função mais simples.
Escolher:
u = x^{2}+1.
Então derivando ambos os lados,
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Note que u>0 para todo x, pois x^{2}+1\ge 1, então não há problema com valores negativos dentro do \ln que aparecerá.

Passo 3

Fazer a substituição na integral indefinida. Começamos por
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Usando u=x^{2}+1 e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, a integral vira
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Conhecimento básico: \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Aplicando:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.
Como u=x^{2}+1>0, podemos remover o módulo:
\boxed{\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big) + C.}
Essa é a primitiva que vamos usar para a integral definida.

Passo 4

Agora usar o Teorema Fundamental do Cálculo: se F(x) é uma primitiva da função integranda, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\dfrac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big). Avaliando entre a=1 e b=3:
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \left.\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big)\right|_{1}^{3} = \frac{1}{2}\ln\!\big(3^{2}+1\big) - \frac{1}{2}\ln\!\big(1^{2}+1\big).
Calcular os argumentos dos logaritmos:
3^{2}+1 = 9+1 = 10,\qquad 1^{2}+1 = 1+1 = 2.
Portanto
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(10) - \frac{1}{2}\ln(2).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln\!\big(\tfrac{a}{b}\big), obtemos
\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{2}\right) = \frac{1}{2}\ln(5).

Passo 5

Verificação rápida por um exemplo parecido para fixar o método: se tivesse \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+3}\,dx, com a mesma ideia u=x^{2}+3 teria du=2x\,dx e a integral seria \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln(u)+C=\ln(x^{2}+3)+C. Isso mostra que reconhecer a derivada do denominador no numerador é um atalho poderoso e frequente em prova.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln(5)

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