Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{1} \frac{4 x}{\sqrt{1-x^{4}}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida da função dada: \displaystyle \int \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.
  • Usar o resultado da integral indefinida para calcular a integral definida
\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é \dfrac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}.
  • O intervalo da integral definida é x\in[0,1].
  • Não há outras restrições explícitas; a função está bem definida no intervalo dado, pois 1-x^4\ge 0 para x\in[0,1].

Passo 2

Escolher uma substituição conveniente. Observação prática: aparece x^4 sob a raiz e um x multiplicando o diferencial. Uma substituição natural é definir u de modo que u^2 seja x^4 ou, mais simples, escolher u=x^2. Vamos testar isso.
Defina u = x^{2}. Então calcule a diferencial du:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad 4x\,dx = 2\,du.
Também observe que x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2}. Essas relações permitem transformar a integral em termos de u.

Passo 3

Fazer a mudança de variável na integral indefinida. Substituindo u=x^{2} e 4x\,dx=2\,du obtemos:
\int \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = \int \frac{2}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = 2\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Aqui foi usada a relação x^{4}=u^{2} e a expressão para 4x\,dx.

Passo 4

Conhecer a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}. Uma fórmula padrão (que pode ser memorizada ou verificada derivando) é:
\frac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\qquad\text{para }|u|<1.
Portanto
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du=\arcsin(u)+C.
Voltando à integral que tínhamos,
2\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du = 2\arcsin(u)+C.
Substituindo u=x^{2} de volta, a primitiva em termos de x é
\int \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = 2\arcsin(x^{2}) + C.

Passo 5

Usar a primitiva para calcular a integral definida. A integral definida é
\int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx.
Usando a primitiva F(x)=2\arcsin(x^{2}), a integral definida vale
F(1)-F(0)=2\bigl(\arcsin(1)-\arcsin(0)\bigr).
Sabendo os valores \arcsin(1)=\dfrac{\pi}{2} e \arcsin(0)=0, a expressão acima é o que precisamos simplificar para obter o resultado final.

Resposta

\displaystyle \int \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = 2\arcsin(x^{2}) + C
\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,dx = \pi

Exercícios relacionados