Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{2} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx
e, usando esse resultado, calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Informações dadas e objetivo: a função integranda é x multiplicado por \sqrt{1+2x^{2}}=(1+2x^{2})^{1/2}. Primeiro encontra-se uma primitiva (antiderivada) da função; depois avalia-se essa primitiva em x=2 e x=0 e toma-se a diferença para obter a integral definida.

Passo 2

Escolhendo o método: a integranda tem a forma “algo” vezes uma função composta (1+2x^{2})^{1/2}, e a derivada do interior 1+2x^{2} é proporcional a x. Isso sugere a substituição por u (troca de variável). Definimos
u = 1 + 2x^{2}.
Agora calculamos du. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = 4x\,dx.
Isolamos x\,dx para substituir na integral:
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral indefinida. Temos \sqrt{1+2x^{2}}=(u)^{1/2} e x\,dx=\dfrac{1}{4}du. Logo
\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \int (u)^{1/2} \cdot \frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integrando u^{1/2}: usar a regra básica de potência para integrais, que diz que para n\neq -1
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{6}\,u^{3/2}+C.
Voltando à variável x usando u=1+2x^{2}, obtemos a antiderivada
\int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\,(1+2x^{2})^{3/2}+C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva para checar se volta ao integrando.
Derivando \dfrac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2}:
\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2}\right] = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}(1+2x^{2})^{1/2}\cdot 4x = x(1+2x^{2})^{1/2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx. Pela fórmula da integral definida,
\int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \left[\frac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{6}(1+2\cdot 2^{2})^{3/2} - \frac{1}{6}(1+2\cdot 0^{2})^{3/2}.
Calculamos cada termo: 1+2\cdot 2^{2}=1+8=9, e 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27. Também 1+2\cdot 0^{2}=1 e 1^{3/2}=1. Assim
\int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\cdot 27 - \frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{27-1}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \int x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}(1+2x^{2})^{3/2} + C
\displaystyle \int_{0}^{2} x \sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{13}{3}

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