Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral indefinida
e, usando esse resultado, calcular a integral definida
Informações dadas e objetivo: a função integranda é
multiplicado por
. Primeiro encontra-se uma primitiva (antiderivada) da função; depois avalia-se essa primitiva em
e
e toma-se a diferença para obter a integral definida.
Passo 2
Escolhendo o método: a integranda tem a forma “algo” vezes uma função composta
, e a derivada do interior
é proporcional a
. Isso sugere a substituição por
(troca de variável). Definimos
Agora calculamos
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolamos
para substituir na integral:
Passo 3
Aplicando a substituição na integral indefinida. Temos
e
. Logo
Passo 4
Integrando
: usar a regra básica de potência para integrais, que diz que para
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Voltando à variável
usando
, obtemos a antiderivada
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva para checar se volta ao integrando.
Derivando :
Derivando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida
. Pela fórmula da integral definida,
Calculamos cada termo:
, e
. Também
e
. Assim