Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{sec} ^{2}\left(\frac{x}{3}\right) d x=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede dois passos: primeiro encontrar a integral indefinida de \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big) (ou seja, uma primitiva); depois usar essa primitiva para calcular a integral definida de 0 a \tfrac{\pi}{6}.
  • Informação dada: a função a integrar é \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big) e os limites da integral definida são 0 e \tfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Ideia do método (bem mastigada): quando vemos \operatorname{sec}^{2}(\text{algo}) lembramos que a derivada de \tan(\text{algo}) é \operatorname{sec}^{2}(\text{algo}) vezes a derivada do “algo” (regra da cadeia). Em símbolos: se u(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\big(\tan(u(x))\big)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Portanto, para integrar \operatorname{sec}^{2}\!\big(u(x)\big) é natural fazer uma substituição u=u(x) que transforme a integral numa forma \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du, cuja primitiva é \tan(u). Aqui o “algo” é \tfrac{x}{3}, então vamos usar u=\tfrac{x}{3}.

Passo 3

Fazendo a substituição passo a passo:
  • Defina u=\dfrac{x}{3}. Então a derivada é
du=\frac{1}{3}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=3\,du.
  • Substituindo na integral indefinida:
\int \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot (3\,du) = 3\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
  • Sabendo que \dfrac{d}{du}\big(\tan u\big)=\operatorname{sec}^{2}u, a primitiva de \operatorname{sec}^{2}u é \tan u. Logo
3\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = 3\tan u + C.
  • Voltando para a variável x (isto é, u=\tfrac{x}{3}):
\int \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\,dx = 3\tan\!\big(\tfrac{x}{3}\big) + C.
Aqui C é a constante de integração.

Passo 4

Agora aplicar a primitiva para a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
  • Escolha a primitiva F(x)=3\tan\!\big(\tfrac{x}{3}\big).
  • A integral definida é
\int_{0}^{\pi/6} \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\,dx = F\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) - F(0).
  • Calcule F nos limites:
F\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=3\tan\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{\pi}{6}\right)=3\tan\!\left(\tfrac{\pi}{18}\right), \qquad F(0)=3\tan\!\left(0\right)=0.
  • Portanto
\int_{0}^{\pi/6} \operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\,dx = 3\tan\!\left(\tfrac{\pi}{18}\right).

Passo 5

Comentário final e intuição:
  • A técnica usada foi substituição simples (ou reconhecimento da derivada de \tan) e o Teorema Fundamental do Cálculo.
  • Se quiser um valor aproximado para conferir na prova com calculadora: \tan\!\big(\tfrac{\pi}{18}\big)=\tan(10^\circ)\approx 0,176326, então o resultado numérico é aproximadamente 3\cdot 0,176326\approx 0,52898. Mas a forma exata é mais elegante e normalmente esperada: 3\tan\!\big(\tfrac{\pi}{18}\big).

Resposta

3\tan\!\big(\tfrac{\pi}{18}\big)

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