Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede dois passos: primeiro encontrar a integral indefinida de
(ou seja, uma primitiva); depois usar essa primitiva para calcular a integral definida de a . - Informação dada: a função a integrar é
e os limites da integral definida são e .
Passo 2
Ideia do método (bem mastigada): quando vemos
lembramos que a derivada de
é
vezes a derivada do “algo” (regra da cadeia). Em símbolos: se
é uma função, então
Portanto, para integrar
é natural fazer uma substituição
que transforme a integral numa forma
, cuja primitiva é
. Aqui o “algo” é
, então vamos usar
.
Passo 3
Fazendo a substituição passo a passo:
- Defina
. Então a derivada é
- Substituindo na integral indefinida:
- Sabendo que
, a primitiva de é . Logo
- Voltando para a variável
(isto é, ):
Aqui
é a constante de integração.
Passo 4
Agora aplicar a primitiva para a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
- Escolha a primitiva
. - A integral definida é
- Calcule
nos limites:
- Portanto
Passo 5
Comentário final e intuição:
- A técnica usada foi substituição simples (ou reconhecimento da derivada de
) e o Teorema Fundamental do Cálculo. - Se quiser um valor aproximado para conferir na prova com calculadora:
, então o resultado numérico é aproximadamente . Mas a forma exata é mais elegante e normalmente esperada: .