Determine as três equações de estado na representação da entropia para um sistema com a equação fundamental
Resposta:
de J/mor r.
Passo 1
O enunciado fornece a equação fundamental (na forma energia em função de entropia e volume) e pede as três equações de estado na representação da entropia. Dados fornecidos:
O que se pede explicitamente:
- As três equações de estado na representação da entropia, ou seja, expressões para
, e em termos de e (considerando uma mole, ou variáveis molares ).
As constantessão parâmetros dados; não é necessário substituir valores numéricos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: inverter a relação para obter
como função de
e
. Para simplificar a escrita, defino
A equação dada é
Isolando
vem
Tomando potência
em ambos os lados (isto é, elevando a
), obtemos
É útil reescrever isto como potências separadas de
e
. Usando propriedades de potências:
Comentário didático rápido: tirar a potência
é a operação inversa de elevar a
. Esta expressão já está na forma
, pronta para calcular derivadas parciais.
Passo 3
Agora uso as definições termodinâmicas na representação da entropia. Para um sistema simples com entropia
valem as relações (explicando o que cada termo significa):
-
, onde é a temperatura e é a energia interna. -
, onde é a pressão e o volume. - A relação de Euler (para variáveis extensivas) dá a ligação com o potencial químico; para uma mole (
, ou usando variáveis molares) pode-se usar
da qual segue
Vou calcular
e
a partir de
e depois usar a relação acima para
.
Passo 4
Calcular
. A função é
Derivando em relação a
(tratando
como constante) e lembrando que
, obtemos
Substituindo novamente
, fica
Comentário prático: essa é exatamente a primeira das expressões pedidas. A derivada parcial representa quão sensível é a entropia a uma pequena variação de energia interna, mantendo o volume fixo; essa sensibilidade é o inverso da temperatura.
Passo 5
Calcular
. A partir de
, derivando em relação a
(com
fixo) e lembrando que
, obtemos
Substituindo
de volta:
Interpretação rápida: essa derivada mostra como a entropia muda com o volume a energia fixa; essa taxa é a pressão dividida pela temperatura.
Passo 6
Calcular
usando a relação de Euler para a entropia (valendo para uma mole):
. Já temos todas as peças:
-
-
Somando:
Subtraindo
dá
Voltando a escrever
explicitamente:
Observação: o sinal negativo é esperado pela forma da relação de Euler e pela dependência de
obtida.