Determine as três equações de estado na representação da entropia para um sistema com a equação fundamental
u=\left(\frac{v_{0}^{1 / 2} \theta}{R^{3 / 2}}\right) \frac{s^{5 / 2}}{v^{1 / 2}}
Resposta:
\begin{aligned} \frac{1}{T} & =\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1 / 2} \theta}{R^{3 / 2}}\right)^{-2 / 5} \frac{v^{1 / 5}}{u^{3 / 5}} \\\ \frac{\mu}{T} & =-\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1 / 2} \theta}{R^{3 / 2}}\right)^{-2 / 5} u^{2 / 5} v^{1 / 5} \end{aligned}
de J/mor r.

Passo 1

O enunciado fornece a equação fundamental (na forma energia em função de entropia e volume) e pede as três equações de estado na representação da entropia. Dados fornecidos:
u=\left(\frac{v_{0}^{1/2}\,\theta}{R^{3/2}}\right)\frac{s^{5/2}}{v^{1/2}}.
O que se pede explicitamente:
  • As três equações de estado na representação da entropia, ou seja, expressões para \dfrac{1}{T}, \dfrac{p}{T} e \dfrac{\mu}{T} em termos de u e v (considerando uma mole, ou variáveis molares u,v,s).
    As constantes v_{0},\theta,R são parâmetros dados; não é necessário substituir valores numéricos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: inverter a relação para obter s como função de u e v. Para simplificar a escrita, defino
A \equiv \left(\frac{v_{0}^{1/2}\,\theta}{R^{3/2}}\right).
A equação dada é
u = A\frac{s^{5/2}}{v^{1/2}}.
Isolando s^{5/2} vem
s^{5/2}=\frac{u\,v^{1/2}}{A}.
Tomando potência 2/5 em ambos os lados (isto é, elevando a 2/5), obtemos
s=\left(\frac{u\,v^{1/2}}{A}\right)^{2/5}.
É útil reescrever isto como potências separadas de u e v. Usando propriedades de potências:
s = A^{-2/5}\;u^{2/5}\;v^{1/5}.
Comentário didático rápido: tirar a potência 2/5 é a operação inversa de elevar a 5/2. Esta expressão já está na forma s(u,v), pronta para calcular derivadas parciais.

Passo 3

Agora uso as definições termodinâmicas na representação da entropia. Para um sistema simples com entropia S(U,V,N) valem as relações (explicando o que cada termo significa):
  • \dfrac{1}{T}=\left(\dfrac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}, onde T é a temperatura e U é a energia interna.
  • \dfrac{p}{T}=\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}, onde p é a pressão e V o volume.
  • A relação de Euler (para variáveis extensivas) dá a ligação com o potencial químico; para uma mole ( N=1, ou usando variáveis molares) pode-se usar
s = \frac{1}{T}\,u + \frac{p}{T}\,v - \frac{\mu}{T},
da qual segue
\frac{\mu}{T}=\frac{1}{T}\,u+\frac{p}{T}\,v - s.
Vou calcular \dfrac{1}{T} e \dfrac{p}{T} a partir de s(u,v) e depois usar a relação acima para \dfrac{\mu}{T}.

Passo 4

Calcular \dfrac{1}{T}=\left(\dfrac{\partial s}{\partial u}\right)_{v}. A função é
s(u,v)=A^{-2/5}\;u^{2/5}\;v^{1/5}.
Derivando em relação a u (tratando v como constante) e lembrando que \dfrac{d}{du}u^{2/5}=\dfrac{2}{5}u^{-3/5}, obtemos
\frac{1}{T}=\frac{\partial s}{\partial u} = A^{-2/5}\left(\frac{2}{5}u^{-3/5}\right)v^{1/5} =\frac{2}{5}A^{-2/5}\frac{v^{1/5}}{u^{3/5}}.
Substituindo novamente A=\left(\dfrac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right), fica
\frac{1}{T}=\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}\frac{v^{1/5}}{u^{3/5}}.
Comentário prático: essa é exatamente a primeira das expressões pedidas. A derivada parcial representa quão sensível é a entropia a uma pequena variação de energia interna, mantendo o volume fixo; essa sensibilidade é o inverso da temperatura.

Passo 5

Calcular \dfrac{p}{T}=\left(\dfrac{\partial s}{\partial v}\right)_{u}. A partir de s(u,v)=A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}, derivando em relação a v (com u fixo) e lembrando que \dfrac{d}{dv}v^{1/5}=\dfrac{1}{5}v^{-4/5}, obtemos
\frac{p}{T}=\frac{\partial s}{\partial v} = A^{-2/5}u^{2/5}\left(\frac{1}{5}v^{-4/5}\right) =\frac{1}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{-4/5}.
Substituindo A de volta:
\frac{p}{T}=\frac{1}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}u^{2/5}v^{-4/5}.
Interpretação rápida: essa derivada mostra como a entropia muda com o volume a energia fixa; essa taxa é a pressão dividida pela temperatura.

Passo 6

Calcular \dfrac{\mu}{T} usando a relação de Euler para a entropia (valendo para uma mole): \dfrac{\mu}{T}=\dfrac{1}{T}u+\dfrac{p}{T}v - s. Já temos todas as peças:
  • \dfrac{1}{T}u = \left(\dfrac{2}{5}A^{-2/5}\dfrac{v^{1/5}}{u^{3/5}}\right)u = \dfrac{2}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}.
  • \dfrac{p}{T}v = \left(\dfrac{1}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{-4/5}\right)v = \dfrac{1}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}.
    Somando:
\frac{1}{T}u+\frac{p}{T}v = \left(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\right)A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5} =\frac{3}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}.
Subtraindo s=A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}
\frac{\mu}{T}=\frac{3}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}-A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5} =-\frac{2}{5}A^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}.
Voltando a escrever A explicitamente:
\frac{\mu}{T}=-\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}.
Observação: o sinal negativo é esperado pela forma da relação de Euler e pela dependência de s obtida.

Resposta

\frac{1}{T}=\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}\frac{v^{1/5}}{u^{3/5}}
\frac{p}{T}=\frac{1}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}u^{2/5}v^{-4/5}
\frac{\mu}{T}=-\frac{2}{5}\left(\frac{v_{0}^{1/2}\theta}{R^{3/2}}\right)^{-2/5}u^{2/5}v^{1/5}

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