Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) achar uma primitiva (integral indefinida) da função
e (2) usar essa primitiva para calcular a integral definida de
a
:
Informações dadas importantes:
- O integrando é
. - Precisamos primeiro encontrar uma função
tal que (primitiva). - Depois avaliar
.
Passo 2
Estratégia de resolução (motivação didática, sem pular etapas):
- Repare que a expressão
aparece ao quadrado no denominador e que a derivada de é , ou seja, é proporcional a que multiplica o resto. Isso é um sinal clássico de substituição simples (mudança de variável) do tipo quando aparece no integrando. - A ideia da substituição é transformar a integral em uma forma mais simples, tipicamente uma potência de
cuja antiderivada conhecemos.
Passo 3
Escolhemos a substituição e calculamos os diferenciais:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Também escrevemos o denominador em termos de
:
Passo 4
Aplicando a substituição na integral indefinida:
Aqui usei que
. Agora integramos usando a regra da potência: para
,
No nosso caso
, então
Portanto
Passo 5
Voltando à variável
(substituição inversa):
Esta é a primitiva procurada. Vou fazer uma verificação rápida (diferença entre prática e prova): derivando
obtém-se
que coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.
Passo 6
Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida de
a
. Se
então
Calculemos os valores:
Assim
Colocando em denominador comum
: