Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+2 x^{2}\right)^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) achar uma primitiva (integral indefinida) da função \dfrac{x}{\left(1+2x^{2}\right)^{2}} e (2) usar essa primitiva para calcular a integral definida de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+2 x^{2}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • O integrando é \dfrac{x}{\left(1+2x^{2}\right)^{2}}.
  • Precisamos primeiro encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{\left(1+2x^{2}\right)^{2}} (primitiva).
  • Depois avaliar F(2)-F(0).

Passo 2

Estratégia de resolução (motivação didática, sem pular etapas):
  • Repare que a expressão \left(1+2x^{2}\right) aparece ao quadrado no denominador e que a derivada de 1+2x^{2} é 4x, ou seja, é proporcional a x que multiplica o resto. Isso é um sinal clássico de substituição simples (mudança de variável) do tipo u=g(x) quando g'(x) aparece no integrando.
  • A ideia da substituição é transformar a integral em uma forma mais simples, tipicamente uma potência de u cuja antiderivada conhecemos.

Passo 3

Escolhemos a substituição e calculamos os diferenciais:
u = 1+2x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{4}.
Também escrevemos o denominador em termos de u:
\left(1+2x^{2}\right)^{2}=u^{2}.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral indefinida:
\int \frac{x}{\left(1+2x^{2}\right)^{2}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{u^{2}} = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{-2}\,du.
Aqui usei que \dfrac{1}{u^{2}}=u^{-2}. Agora integramos usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-2, então
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{4}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{4}\bigl(-u^{-1}\bigr) + C = -\frac{1}{4u}+C.

Passo 5

Voltando à variável x (substituição inversa):
-\frac{1}{4u}+C = -\frac{1}{4\left(1+2x^{2}\right)}+C.
Esta é a primitiva procurada. Vou fazer uma verificação rápida (diferença entre prática e prova): derivando -\dfrac{1}{4(1+2x^{2})} obtém-se
-\frac{1}{4}\cdot\bigl(-1\bigr)(1+2x^{2})^{-2}\cdot(4x)=\frac{x}{(1+2x^{2})^{2}},
que coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Passo 6

Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida de 0 a 2. Se F(x)=-\dfrac{1}{4(1+2x^{2})} então
\int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+2 x^{2}\right)^{2}}\,dx = F(2)-F(0).
Calculemos os valores:
F(2) = -\frac{1}{4\bigl(1+2\cdot 2^{2}\bigr)} = -\frac{1}{4(1+8)} = -\frac{1}{4\cdot 9} = -\frac{1}{36},
F(0) = -\frac{1}{4\bigl(1+2\cdot 0^{2}\bigr)} = -\frac{1}{4}.
Assim
F(2)-F(0) = -\frac{1}{36} -\bigl(-\frac{1}{4}\bigr) = -\frac{1}{36} + \frac{1}{4}.
Colocando em denominador comum 36:
-\frac{1}{36} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{36} + \frac{9}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \int \frac{x}{\left(1+2x^{2}\right)^{2}}\,dx = -\frac{1}{4\left(1+2x^{2}\right)} + C
\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+2 x^{2}\right)^{2}}\,dx = \frac{2}{9}

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