Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\ln(2)}^{\ln(8)} \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}.
  • Os limites de integração são x=\ln(2) (limite inferior) e x=\ln(8) (limite superior).
  • Propriedade útil que já aparece no enunciado: e^{\ln(2)}=2 e e^{\ln(8)}=8.

Passo 2

Escolha do método: observar a forma \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}. Quando se tem uma razão \dfrac{u'(x)}{u(x)}, a integral é \ln|u(x)|+C. Aqui podemos tentar identificar u(x) tal que u'(x)=e^{x} e u(x)=1+e^{x}. Isso sugere usar a regra da cadeia para logs (ou uma substituição simples). Vou explicar a regra usada:
Regra (derivada do log): se u(x) é diferenciável e u(x)\neq0, então
\frac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso, se escolhermos u(x)=1+e^{x} então u'(x)=e^{x}. Portanto a derivada de \ln(1+e^{x}) é exatamente \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}. Isso mostra de forma direta qual é uma antiderivada. Para quem prefere substituição, a mesma ideia aparece tomando u=1+e^{x}; explico isso no passo seguinte.

Passo 3

Cálculo da integral indefinida usando a observação anterior.
Tomando u(x)=1+e^{x} temos u'(x)=e^{x}. Pela regra do log:
\frac{d}{dx}\big(\ln(1+e^{x})\big)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Logo uma primitiva é
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \ln(1+e^{x}) + C,
onde C é a constante de integração.
(Comentário rápido pela substituição: se u=1+e^{x} então du=e^{x}dx e a integral vira \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C, que é a mesma resposta.)

Passo 4

Usar a primitiva para calcular a integral definida pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Tomando a primitiva F(x)=\ln(1+e^{x}), temos
\int_{\ln(2)}^{\ln(8)} \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = F\big(\ln(8)\big)-F\big(\ln(2)\big).
Calculemos cada termo:
F\big(\ln(8)\big)=\ln\big(1+e^{\ln(8)}\big)=\ln(1+8)=\ln(9),
F\big(\ln(2)\big)=\ln\big(1+e^{\ln(2)}\big)=\ln(1+2)=\ln(3).
Portanto
\int_{\ln(2)}^{\ln(8)} \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \ln(9)-\ln(3).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), obtemos
\ln(9)-\ln(3)=\ln\!\left(\frac{9}{3}\right)=\ln(3).

Resposta

\ln(3)

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