Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - Propriedade útil que já aparece no enunciado:
e .
Passo 2
Escolha do método: observar a forma
. Quando se tem uma razão
, a integral é
. Aqui podemos tentar identificar
tal que
e
. Isso sugere usar a regra da cadeia para logs (ou uma substituição simples). Vou explicar a regra usada:
Regra (derivada do log): se
é diferenciável e
, então
No nosso caso, se escolhermos
então
. Portanto a derivada de
é exatamente
. Isso mostra de forma direta qual é uma antiderivada. Para quem prefere substituição, a mesma ideia aparece tomando
; explico isso no passo seguinte.
Passo 3
Cálculo da integral indefinida usando a observação anterior.
Tomando
temos
. Pela regra do log:
Logo uma primitiva é
onde
é a constante de integração.
(Comentário rápido pela substituição: se
então
e a integral vira
, que é a mesma resposta.)
Passo 4
Usar a primitiva para calcular a integral definida pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Tomando a primitiva
, temos
Calculemos cada termo:
Portanto
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos