Questão 2: Considere as funções:
f(x)=e^{x}, \quad g(x)=-e^{x}, \quad h(x)=-e^{-x}
Desenhe duas figuras, sendo uma mostrando a superposição dos gráficos das funções f(x) e g(x), e a outra mostrando a superposição dos gráficos de g(x) e de h(x).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar duas figuras:
  • Figura A: superpor os gráficos de f(x)=e^{x} e g(x)=-e^{x}.
  • Figura B: superpor os gráficos de g(x)=-e^{x} e h(x)=-e^{-x}.
Informações fornecidas (as três funções):
f(x)=e^{x},\quad g(x)=-e^{x},\quad h(x)=-e^{-x}.
O que precisamos entregar: instruções passo a passo e dados suficientes para traçar, à mão, cada uma das duas figuras pedidas (pontos-chave, comportamento em \pm\infty, simetrias, interseções, esboço do formato).

Passo 2

Analisar f(x)=e^{x} (para saber como desenhá-la).
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: \, (0,\infty)\, (sempre positiva).
  • Interseção com eixos: f(0)=1 (corte em y-axis em (0,1)). Não corta o eixo x.
  • Assíntota horizontal: y=0 quando x\to -\infty.
  • Limites: \lim_{x\to -\infty} e^{x}=0,\qquad \lim_{x\to +\infty} e^{x}=+\infty.
  • Derivadas (para monotonicidade/curvatura): f'(x)=e^{x}>0\quad(\text{estritamente crescente}),\qquad f''(x)=e^{x}>0\quad(\text{côncavo para cima}).ô
  • Tabela de pontos úteis (aproximações suficientes para esboço): \begin{array}{c|c} x & f(x)=e^{x}\\hline -2 & e^{-2}\approx 0,135\\\\ -1 & e^{-1}\approx 0,368\\\\ 0 & 1\\\\ 1 & e\approx 2,718 \end{array}

Passo 3

Analisar g(x)=-e^{x}.
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: (-\infty,0) (sempre negativa).
  • Interseção com eixos: g(0)=-1 (corte em (0,-1)). Não corta o eixo x.
  • Assíntota horizontal: y=0 quando x\to -\infty (aproxima-se de 0 por baixo).
  • Limites: \lim_{x\to -\infty}-e^{x}=0^{-},\qquad \lim_{x\to +\infty}-e^{x}=-\infty.
  • Derivadas: g'(x)=-e^{x}<0\quad(\text{estritamente decrescente}),\qquad g''(x)=-e^{x}<0\quad(\text{côncavo para baixo}).ô
  • Tabela de pontos (valores com sinal negativo, magnitudes iguais a f): \begin{array}{c|c} x & g(x)=-e^{x}\\hline -2 & -e^{-2}\approx -0,135\\\\ -1 & -0,368\\\\ 0 & -1\\\\ 1 & -2,718 \end{array}

Passo 4

Analisar h(x)=-e^{-x}.
  • Domínio: todos os reais.
  • Imagem: (-\infty,0) (sempre negativa).
  • Interseção com eixos: h(0)=-1 (corte em (0,-1)).
  • Assíntota horizontal: y=0 quando x\to +\infty (aproxima-se de 0 por baixo).
  • Limites: \lim_{x\to +\infty}-e^{-x}=0^{-},\qquad \lim_{x\to -\infty}-e^{-x}=-\infty.
  • Derivadas: h'(x)=e^{-x}>0\quad(\text{estritamente crescente}),\qquad h''(x)=-e^{-x}<0\quad(\text{côncavo para baixo}).ô
  • Tabela de pontos: \begin{array}{c|c} x & h(x)=-e^{-x}\\hline -2 & -e^{2}\approx -7,389\\\\ -1 & -e^{1}\approx -2,718\\\\ 0 & -1\\\\ 1 & -e^{-1}\approx -0,368\\\\ 2 & -0,135 \end{array}

Passo 5

Relações entre as funções (transformações geométricas, muito úteis para desenhar rápido):
  • g(x)=-e^{x}=-f(x): g é simplesmente o gráfico de f refletido em relação ao eixo x (troca de sinal das ordens).
  • h(x)=-e^{-x}=-f(-x): h é obtida de f aplicando reflexão em relação ao eixo y (troca x por -x) e depois reflexão em relação ao eixo x. Alternativamente, h(x)=g(-x): h é o gráfico de g refletido em relação ao eixo y.
    Essas observações permitem desenhar uma curva a partir de outra sem calcular muitos pontos.

Passo 6

Interseções entre os pares (importante para saber se as curvas se cruzam).
  • Interseção f e g: resolver e^{x}=-e^{x}. Isso leva a 2e^{x}=0, impossível. Portanto: \text{Não há interseção real entre }f\text{ e }g.ãáçãGeometricamente: g é reflexo de f sobre o eixo x, então ficam simetricamente acima e abaixo do eixo x, sem tocar.
  • Interseção g e h: resolver -e^{x}=-e^{-x}, ou seja e^{x}=e^{-x}. Isso dá e^{2x}=1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0. Valor comum: g(0)=h(0)=-1.Portanto g e h se interceptam em (0,-1). Observação sobre o cruzamento: g'(0)=-1 e h'(0)=1, ou seja, tangentes com inclinações opostas — elas se cruzam de forma “X” no ponto (0,-1).

Passo 7

Instruções detalhadas para desenhar a Figura A: superposição de f e g.
  1. Trace eixos x e y. Marque o ponto 0 e as graduções simétricas (por ex.: -2,-1,0,1,2 no eixo x; no eixo y marque pelo menos -3,-2,-1,0,1,2,3).
  2. Desenhe a assíntota horizontal y=0 (linha tracejada leve) — isso ajuda a posicionar as curvas próximas a zero.
  3. Plote os pontos da tabela de f: (-2,0{,}135), (-1,0{,}368), (0,1), (1,2{,}718). Una-os com uma curva suave que sobe rapidamente para a direita e se aproxima de y=0 para a esquerda.
  4. Plote os pontos correspondentes de g (os mesmos valores em módulo, com sinal negativo): (-2,-0{,}135), (-1,-0{,}368), (0,-1), (1,-2{,}718). Una-os com uma curva suave que desce para a direita (tendendo a -\infty) e se aproxima de y=0 pela esquerda.
  5. Reforce visualmente a simetria: g é reflexão de f em relação ao eixo x. Verifique que não há interseção (as curvas ficam separadas pelo eixo x).
  6. Indique setas nas extremidades para mostrar o comportamento quando x\to\pm\infty.
Dica prática: desenhe primeiro f (mais conhecida, fica acima do eixo), depois desenhe g simplesmente refletindo verticalmente o traçado de f.

Passo 8

Instruções detalhadas para desenhar a Figura B: superposição de g e h.
  1. Trace eixos e marque as mesmas graduações que na figura A (mantendo escalas semelhantes ajuda na comparação).
  2. Plote g usando a tabela do Passo 3: por exemplo (-2,-0{,}135), (-1,-0{,}368), (0,-1), (1,-2{,}718). Lembre que g\to 0^{-} quando x\to -\infty e g\to -\infty quando x\to +\infty.
  3. Plote h usando a tabela do Passo 4: por exemplo (-2,-7{,}389), (-1,-2{,}718), (0,-1), (1,-0{,}368), (2,-0{,}135). Lembre que h\to -\infty quando x\to -\infty e h\to 0^{-} quando x\to +\infty.
  4. Una os pontos de g e de h com curvas suaves. Observe e marque claramente o ponto de interseção (0,-1).
  5. Realce a simetria: h(x)=g(-x), então h é a reflexão de g sobre o eixo y. Assim, os ramos que descem para -\infty aparecem em lados opostos: g vai para -\infty à direita e aproxima-se de 0^{-} à esquerda; h vai para -\infty à esquerda e aproxima-se de 0^{-} à direita.
  6. Anote que em (0,-1) as tangentes são de inclinação oposta ( g'(0)=-1 e h'(0)=1), então as curvas se cruzam formando um X naquele ponto.

Passo 9

Esboços rápidos (ASCII muito simples apenas para referência visual; usar apenas como guia — desenhe no papel com as instruções acima para ficar bonito):
Para f (em cima) e g (embaixo), ideia da Figura A:
y
^ f (cresce para +∞)
| /
| /
| /
|-----/----------- x
| /
| /
| /
| /
|/ g (desce para -∞)
(assíntota y=0 é a linha horizontal central)
Para g e h, Figura B (simetria em relação ao eixo y, cruzando em (0,-1)):
y
^
| h (aproxima 0 à direita)
| /
| /
| /
|-----/----·------ x (ponto · é (0,-1))
|
|
|
|
| g (aproxima 0 à esquerda)
(Sublinhe: os desenhos reais no papel devem usar as tabelas de pontos e suavidade das curvas, essas ASCII são apenas sugestivas.)

Passo 10

Resumo prático para fazer rápido numa prova (meio em tom de amigo): comece desenhando o eixo e marcando (0,1) e (0,-1). Desenhe f passando por (0,1) subindo rápido para a direita e se aproximando de y=0 à esquerda. Para g pegue esse traço e reflita verticalmente (ou desenhe os pontos negativos correspondentes). Para h pegue g e reflita horizontalmente (ou desenhe os pontos de h da tabela). Marque interseção de g e h em (0,-1). Respira fundo — está feito e tá bonito!

Resposta

Figura A: gráfico de f(x)=e^{x} (curva positiva, crescente, f(0)=1, assíntota y=0 à esquerda) superposto com g(x)=-e^{x} (mesma curva refletida sobre o eixo x, com g(0)=-1); não há interseções entre f e g.
Figura B: gráfico de g(x)=-e^{x} (decrescente, g(0)=-1) superposto com h(x)=-e^{-x} (reflexão de g sobre o eixo y, crescente, h(0)=-1); as duas curvas se intersectam em (0,-1).

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