Questão 2: Considere as funções:
Desenhe duas figuras, sendo uma mostrando a superposição dos gráficos das funções
e
, e a outra mostrando a superposição dos gráficos de
e de
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar duas figuras:
- Figura A: superpor os gráficos de
e . - Figura B: superpor os gráficos de
e .
Informações fornecidas (as três funções):
O que precisamos entregar: instruções passo a passo e dados suficientes para traçar, à mão, cada uma das duas figuras pedidas (pontos-chave, comportamento em
, simetrias, interseções, esboço do formato).
Passo 2
Analisar
(para saber como desenhá-la).
- Domínio: todos os reais.
- Imagem:
(sempre positiva). - Interseção com eixos:
(corte em -axis em ). Não corta o eixo . - Assíntota horizontal:
quando . - Limites:
- Derivadas (para monotonicidade/curvatura):
- Tabela de pontos úteis (aproximações suficientes para esboço):
Passo 3
Analisar
.
- Domínio: todos os reais.
- Imagem:
(sempre negativa). - Interseção com eixos:
(corte em ). Não corta o eixo . - Assíntota horizontal:
quando (aproxima-se de por baixo). - Limites:
- Derivadas:
- Tabela de pontos (valores com sinal negativo, magnitudes iguais a
):
Passo 4
Analisar
.
- Domínio: todos os reais.
- Imagem:
(sempre negativa). - Interseção com eixos:
(corte em ). - Assíntota horizontal:
quando (aproxima-se de por baixo). - Limites:
- Derivadas:
- Tabela de pontos:
Passo 5
Relações entre as funções (transformações geométricas, muito úteis para desenhar rápido):
-
: é simplesmente o gráfico de refletido em relação ao eixo (troca de sinal das ordens). -
: é obtida de aplicando reflexão em relação ao eixo (troca por ) e depois reflexão em relação ao eixo . Alternativamente, : é o gráfico de refletido em relação ao eixo .
Essas observações permitem desenhar uma curva a partir de outra sem calcular muitos pontos.
Passo 6
Interseções entre os pares (importante para saber se as curvas se cruzam).
- Interseção
e : resolver . Isso leva a , impossível. Portanto: Geometricamente: é reflexo de sobre o eixo , então ficam simetricamente acima e abaixo do eixo , sem tocar. - Interseção
e : resolver , ou seja . Isso dá . Valor comum: Portanto e se interceptam em . Observação sobre o cruzamento: e , ou seja, tangentes com inclinações opostas — elas se cruzam de forma “X” no ponto .
Passo 7
Instruções detalhadas para desenhar a Figura A: superposição de
e
.
- Trace eixos
e . Marque o ponto e as graduções simétricas (por ex.: no eixo ; no eixo marque pelo menos ). - Desenhe a assíntota horizontal
(linha tracejada leve) — isso ajuda a posicionar as curvas próximas a zero. - Plote os pontos da tabela de
: , , , . Una-os com uma curva suave que sobe rapidamente para a direita e se aproxima de para a esquerda. - Plote os pontos correspondentes de
(os mesmos valores em módulo, com sinal negativo): , , , . Una-os com uma curva suave que desce para a direita (tendendo a ) e se aproxima de pela esquerda. - Reforce visualmente a simetria:
é reflexão de em relação ao eixo . Verifique que não há interseção (as curvas ficam separadas pelo eixo ). - Indique setas nas extremidades para mostrar o comportamento quando
.
Dica prática: desenhe primeiro
(mais conhecida, fica acima do eixo), depois desenhe
simplesmente refletindo verticalmente o traçado de
.
Passo 8
Instruções detalhadas para desenhar a Figura B: superposição de
e
.
- Trace eixos e marque as mesmas graduações que na figura A (mantendo escalas semelhantes ajuda na comparação).
- Plote
usando a tabela do Passo 3: por exemplo , , , . Lembre que quando e quando . - Plote
usando a tabela do Passo 4: por exemplo , , , , . Lembre que quando e quando . - Una os pontos de
e de com curvas suaves. Observe e marque claramente o ponto de interseção . - Realce a simetria:
, então é a reflexão de sobre o eixo . Assim, os ramos que descem para aparecem em lados opostos: vai para à direita e aproxima-se de à esquerda; vai para à esquerda e aproxima-se de à direita. - Anote que em
as tangentes são de inclinação oposta ( e ), então as curvas se cruzam formando um X naquele ponto.
Passo 9
Esboços rápidos (ASCII muito simples apenas para referência visual; usar apenas como guia — desenhe no papel com as instruções acima para ficar bonito):
Para
(em cima) e
(embaixo), ideia da Figura A:
y
^ f (cresce para +∞)
| /
| /
| /
|-----/----------- x
| /
| /
| /
| /
|/ g (desce para -∞)
(assíntota y=0 é a linha horizontal central)
y
^ f (cresce para +∞)
| /
| /
| /
|-----/----------- x
| /
| /
| /
| /
|/ g (desce para -∞)
(assíntota y=0 é a linha horizontal central)
Para
e
, Figura B (simetria em relação ao eixo
, cruzando em
):
y
^
| h (aproxima 0 à direita)
| /
| /
| /
|-----/----·------ x (ponto · é (0,-1))
|
|
|
|
| g (aproxima 0 à esquerda)
y
^
| h (aproxima 0 à direita)
| /
| /
| /
|-----/----·------ x (ponto · é (0,-1))
|
|
|
|
| g (aproxima 0 à esquerda)
(Sublinhe: os desenhos reais no papel devem usar as tabelas de pontos e suavidade das curvas, essas ASCII são apenas sugestivas.)
Passo 10
Resumo prático para fazer rápido numa prova (meio em tom de amigo): comece desenhando o eixo e marcando
e
. Desenhe
passando por
subindo rápido para a direita e se aproximando de
à esquerda. Para
pegue esse traço e reflita verticalmente (ou desenhe os pontos negativos correspondentes). Para
pegue
e reflita horizontalmente (ou desenhe os pontos de
da tabela). Marque interseção de
e
em
. Respira fundo — está feito e tá bonito!
Resposta
Figura A: gráfico de
(curva positiva, crescente,
, assíntota
à esquerda) superposto com
(mesma curva refletida sobre o eixo
, com
); não há interseções entre
e
.
Figura B: gráfico de
(decrescente,
) superposto com
(reflexão de
sobre o eixo
, crescente,
); as duas curvas se intersectam em
.