Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{sec} (2 x) \operatorname{tg}(2 x) d x=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede primeiro calcular a integral indefinida (a primitiva) da função x \mapsto \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x).
  • Em seguida, usar essa primitiva para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{\pi/6} \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx.
  • Informação implícita: as funções trigonométricas envolvidas são \operatorname{sec} (secante) e \operatorname{tg} (tangente), e o argumento é 2x.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar):
  • A derivada da secante composta é dada pela regra da cadeia. Especificamente, para uma função u(x) vale
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(u(x))\big)=\operatorname{sec}(u(x))\,\tan(u(x))\cdot u'(x).
  • Isso significa que \operatorname{sec}(u)\tan(u) aparece naturalmente quando diferenciamos \operatorname{sec}(u). Na integral, se virmos \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u'(x) então a primitiva é \operatorname{sec}(u(x)).
  • Aqui o argumento é u(x)=2x, então u'(x)=2. Vou usar isso com a regra da cadeia (ou uma substituição simples) para encontrar a primitiva.

Passo 3

Calcular a primitiva (integral indefinida) passo a passo usando substituição simples:
  • Faço a substituição u=2x. Então
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{1}{2}\,du.
  • A integral indefinida transforma-se em
\int \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du.
  • Agora uso o fato de que a primitiva de \operatorname{sec}(u)\tan(u) é \operatorname{sec}(u). Logo
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(u)+C.
  • Voltando para a variável x (isto é, u=2x):
\boxed{\int \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+C.}

Passo 4

Explicação didática do porquê do fator \tfrac{1}{2}:
  • Sem substituição, observe que
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(2x)\big)=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
  • Assim \operatorname{sec}(2x)\tan(2x) é exatamente \tfrac{1}{2} vezes a derivada de \operatorname{sec}(2x). Pela regra inversa da diferenciação (ou pela propriedade linear da integral),
\int \operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+C.
  • Um exemplo análogo: \int \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,dx=\tfrac{1}{3}\operatorname{sec}(3x)+C. Serve pra treinar a ideia do fator que vem da derivada interna.

Passo 5

Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada:
  • A primitiva escolhida é F(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}(2x). Então
\int_{0}^{\pi/6} \operatorname{sec}(2x)\,\operatorname{tg}(2x)\,dx = \left.\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)\right|_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}(2\cdot\tfrac{\pi}{6})-\operatorname{sec}(2\cdot 0)\big).
  • Calculo dos cosenos (para obter as secantes): 2\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}. Sabendo \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} e \cos(0)=1, tem-se
\operatorname{sec}\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\frac{1}{\cos(\tfrac{\pi}{3})}=\frac{1}{1/2}=2, \qquad \operatorname{sec}(0)=\frac{1}{\cos 0}=1.
  • Portanto
\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{3})-\operatorname{sec}(0)\big)=\frac{1}{2}(2-1)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check):
  • Diferenciando a primitiva F(x)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}(2x) obtém-se
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x),
o que confirma que a primitiva está correta. O valor numérico da integral definida fica consistente com isso.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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