Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede primeiro calcular a integral indefinida (a primitiva) da função
. - Em seguida, usar essa primitiva para calcular a integral definida
. - Informação implícita: as funções trigonométricas envolvidas são
(secante) e (tangente), e o argumento é .
Passo 2
Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar):
- A derivada da secante composta é dada pela regra da cadeia. Especificamente, para uma função
vale
- Isso significa que
aparece naturalmente quando diferenciamos . Na integral, se virmos então a primitiva é . - Aqui o argumento é
, então . Vou usar isso com a regra da cadeia (ou uma substituição simples) para encontrar a primitiva.
Passo 3
Calcular a primitiva (integral indefinida) passo a passo usando substituição simples:
- Faço a substituição
. Então
- A integral indefinida transforma-se em
- Agora uso o fato de que a primitiva de
é . Logo
- Voltando para a variável
(isto é, ):
Passo 4
Explicação didática do porquê do fator
:
- Sem substituição, observe que
- Assim
é exatamente vezes a derivada de . Pela regra inversa da diferenciação (ou pela propriedade linear da integral),
- Um exemplo análogo:
. Serve pra treinar a ideia do fator que vem da derivada interna.
Passo 5
Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada:
- A primitiva escolhida é
. Então
- Calculo dos cosenos (para obter as secantes):
. Sabendo e , tem-se
- Portanto
Passo 6
Verificação rápida (sanity check):
- Diferenciando a primitiva
obtém-se
o que confirma que a primitiva está correta. O valor numérico da integral definida fica consistente com isso.