Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida:
\int_{0}^{1 / 3} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x=

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro calcular a primitiva (integral indefinida) da função x\sqrt{1+2x^{2}}, e em seguida usar essa primitiva para avaliar a integral definida
\int_{0}^{1/3} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é x\sqrt{1+2x^{2}}.
  • Os limites da integral definida são 0 e 1/3.

Passo 2

Qual método usar? Aqui a parte dentro da raiz é uma função de x (mais precisamente 1+2x^{2}) e fora da raiz aparece um fator x\,dx. Isso é um sinal clássico de que uma substituição do tipo
u=1+2x^{2}
vai simplificar a integral, porque a diferencial de u é proporcional a x\,dx. Vou explicar essa ideia com calma.
Regra da substituição (intuição): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrar uma função que é uma função de g(x) multiplicada por g'(x) é o mesmo que integrar em u. Aqui queremos exatamente transformar x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx em algo como u^{\alpha}\,du, que é fácil de integrar.

Passo 3

Faço a substituição \,u=1+2x^{2}. Calculo a diferencial:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.
Agora troco na integral indefinida:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{1}{4}\,du.
Coloco a constante fora:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integro a potência de u. Lembra da fórmula básica de potência:
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para }n\neq -1\text{)}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+\!C=\frac{1}{6}u^{3/2}+C.
Volto à variável x usando u=1+2x^{2}:
\int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C.
Essa é a primitiva (integral indefinida). Vou usar essa primitiva para a integral definida.

Passo 5

Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F(x) é uma primitiva de f(x) (ou seja F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\dfrac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}. Então
\int_{0}^{1/3} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \left.\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}\right|_{0}^{1/3} = \frac{1}{6}\bigl(1+2(1/3)^{2}\bigr)^{3/2}-\frac{1}{6}\bigl(1+2\cdot 0^{2}\bigr)^{3/2}.

Passo 6

Calculo os valores explícitos:
1+2\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+2\cdot\frac{1}{9}=1+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}.
Logo
\left(\frac{11}{9}\right)^{3/2}=\frac{11^{3/2}}{9^{3/2}}=\frac{11^{3/2}}{27}=\frac{11\sqrt{11}}{27}.
E para x=0:
\bigl(1+2\cdot0^{2}\bigr)^{3/2}=1^{3/2}=1.
Substituindo:
\int_{0}^{1/3} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{11^{3/2}}{27}-\frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{11^{3/2}}{162}-\frac{1}{6}.
Colocando em denomínio comum 162:
\frac{11^{3/2}}{162}-\frac{27}{162}=\frac{11^{3/2}-27}{162}.
Como 11^{3/2}=11\sqrt{11}, uma forma igualmente válida é
\frac{11\sqrt{11}-27}{162}.

Resposta

\displaystyle \int x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\frac{1}{6}\bigl(1+2x^{2}\bigr)^{3/2}+C
\displaystyle \int_{0}^{1/3} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx=\frac{11^{3/2}-27}{162}=\frac{11\sqrt{11}-27}{162}

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