Calcule a integral indefinida depois use o resultado pra calcular a integral definida: \int_{0}^{1 / 3} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x=
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro calcular a primitiva (integral indefinida) da função x\sqrt{1+2x^{2}}, e em seguida usar essa primitiva para avaliar a integral definida
\int_{0}^{1/3} x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
A integranda é x\sqrt{1+2x^{2}}.
Os limites da integral definida são 0 e 1/3.
Passo 2
Qual método usar? Aqui a parte dentro da raiz é uma função de x (mais precisamente 1+2x^{2}) e fora da raiz aparece um fator x\,dx. Isso é um sinal clássico de que uma substituição do tipo
u=1+2x^{2}
vai simplificar a integral, porque a diferencial de u é proporcional a x\,dx. Vou explicar essa ideia com calma.
Regra da substituição (intuição): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrar uma função que é uma função de g(x) multiplicada por g'(x) é o mesmo que integrar em u. Aqui queremos exatamente transformar x\sqrt{1+2x^{2}}\,dx em algo como u^{\alpha}\,du, que é fácil de integrar.
Passo 3
Faço a substituição \,u=1+2x^{2}. Calculo a diferencial:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{4}\,du.