Calcule a integral indefinida utilizando frações parciais:
integral 1x^2-6 x+8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1x^2-6x+8,dx usando frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais para funções racionais, e vamos precisar fatorar o denominador, montar a decomposição e depois usar a primitiva de 1/(x-a).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático. Observamos que
x^2-6x+8=(x-2)(x-4)
Com o denominador fatorado, escrevemos a decomposição em frações parciais:
1(x-2)(x-4)=Ax-2+Bx-4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-4), obtemos
1=A(x-4)+B(x-2)

Passo 4

Para encontrar A e B, escolhemos valores convenientes de x:
  • Se x=2, então 1=A(2-4)=A(-2), logo A=-tfrac12.
  • Se x=4, então 1=B(4-2)=2B, logo B=tfrac12.

Passo 5

Substituindo A e B na integral, fica
integral 1x^2-6x+8,dx =integrall(-tfrac121x-2+tfrac121x-4r)dx
Agora usamos a primitiva básica integral 1x-a,dx=ln|x-a|+C. Integrando termo a termo,
-tfrac12integral1x-2dx+tfrac12integral1x-4dx =-tfrac12ln|x-2|+tfrac12ln|x-4|+C

Passo 6

Por fim, podemos combinar os logaritmos:
-tfrac12ln|x-2|+tfrac12ln|x-4|=tfrac12lnl|x-4x-2r|+ C

Resposta

12lnl|x-4x-2r|+C

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